¿Cómo explicar estos ejercicios de cálculo diferencial?

Retiro lo dicho se puede ver en la PC con la opción de vista aumentada pero no sé porqué no me habilitó la vista aumentada en la tablet.

Esas tablas se hacen para estudiar los intervalos de crecimiento de una función. Para ello debes saber:

1º la derivada de una función en un punto calcula la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

2º con el signo de la derivada en un punto yo sé si la función es creciente (f'>0), o decreciente (f'<0), en ese punto.

3º Los puntos críticos son los puntos donde la derivada vale 0 (y'=0), o bien los puntos donde la derivada no existe. Para que una función cambie su crecimiento ha de pasar por un punto crítico.

Los puntos críticos se clasifican en:

Extremos relativos:

Máximo relativo(la función pasa de crecer a decrecer)

Mínimo relativo (la función pasa de decrecer a crecer)

Puntos de inflexión con recta tangente horizontal

Puntos de discontinuidad.

Para estudiar el crecimiento, lo hacemos en intervalos: ordenamos de menor a mayor los puntos críticos y estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera del intervalo. Eso es lo que tienes en la tabla en la primera fila. Para ello :

La función primera es polinómica (Dom f(x)= R), luego es continua en todos sus puntos, luego sus puntos críticos solo estan donde y'=0

Derivamos

$$\begin{align}&y'=3x^2-\frac{3}{2}2x=3x^2-3x\\&\\&y'=0\\&\\&3x^2-3x=0\\&\\&3x(x-1)=0\\&x-1=0 \Rightarrow x_1=1\\&x_2=0\\&\\&Intervalos :\\&(-\infty,0) \Rightarrow f'=(-1))3-3(-1)=6>0 \Rightarrow(creciente)\\&(0,1) \Rightarrow f'(\frac{1}{2})=3(\frac{1}{2})^2-3(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}<0\Rightarrow (decreciente)\\&(1,+ \infty) \Rightarrow f'(2)=3(2)^2-3(2)=12-6>0 \Rightarrow(creciente\\&\end{align}$$

Saludos

;)

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