Resolver una operación entre intervalos:

Esta pregunta no la entendí bien. Yo creía que era calcular T y es calcular la longitud del intervalo que contiene las respuestas.

Si

a=b

c=1/a

$$\begin{align}&\frac {abc}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a·a·\frac 1a}{2a^3+\frac{1}{a^3}}=\frac{a}{\frac{2a^6+1}{a^3}}=\frac{a^4}{2a^6+1}\end{align}$$

Tanto tomando el límite cuando a tiende a 0 como tomándolo cuando a tiende a infinito el límite es 0.  Como T es siempre positiva su valor menor tiende a 0.

Por otra parte uno de los tres números será el mayor o igual que los otros y su cubo será mayor que abc, por lo tanto el denominador es siempre mayor que el numerador, por lo tanto las respuestas 3 y 2 son imposibles.

Y ahora voy a usar argumentos que son buenos pero no son usuales.

La función está acotada abajo por 0 y encima por 1 y es continua, en algún punto tendrá su máximo. Ese máximo es el de una función de tres variables que tienen el mismo papel todas ellas, luego el punto tendrá a=b=c

Y si sustituyes eso en la función te queda

T = a^3 / (3a^3) = 1/3

Luego la longitud del intervalo va desde 0 a 1/3, mide 1/3

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Hacíendolo bien se calcularía el máximo por derivadas parciales igualadas a 0

$$\begin{align}&\frac{\partial T}{\partial a}=\frac{bc(a^3+b^3+c^3)-abc·3a^2}{(a^3+b^3+c^3)^2}=\\&\\&\frac{bc(b^3+c^3-2a^3)}{(a^3+b^3+c^3)^2}=0\\&\\&\text{Si b=0 o c=0 tenemos T=0 es un mínimo}\\&\text{donde además no está definida T}\\&\text{Luego asumimos }\\&b^3+c^3-2a^3=0\\&\text{Y de las otras dos parciales igualadas a 0 te queda}\\&a^3+c^3-2b^3=0\\&a^3+b^3-2c^3=0\\&\\&\text{Restando la segunda a la primera}\\&b^3-a^3-2a^3+2b^3=0\\&3b^3-3a^3=0\\&3b^3=3a^3\\&b^3=a^3\\&b=a\\&\end{align}$$

Y restando la tercera a la segunda llegarías a b=c

Luego a=b=c que es lo que te había dicho antes sin hacer operaciones.

En todos los puntos donde a=b=c tenemos T=1/3 y conocemos puntos donde T tiende a 0, luego es un máximo relativo y es máximo absoluto porque si no existirían otros puntos críticos donde se diera ese máximo.

Luego resumiendo al final, el intervalo mide 1/3.

Por favor, sube la nota de la pregunta.

Saludos.
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