Resolver ejercicio de aplicación de ecuaciones diferenciales

Roman zapata!

Si la tasa de incremento (dN/dt) es proporcional a 75-N

a) La ecuación diferencial que describe la razón de cambio con respecto el tiempo es:

$$\begin{align}&\frac{dN}{dt}=K·(75-N)\\&\\&b)\\&E.D.de \ variables \ separables:\\&\\&\frac{dN}{75-N}=Kdt\\&\\&\int \frac{dN}{75-N}=\int Kdt\\&\\&-ln|75-N|=kt+C_1\\&\\&ln|75-N|=-Kt+C_2\\&\\&75-N= e^{-Kt+C_2}\\&\\&75-N=e^{-Kt}·e^{C_2}\\&\\&75-N=e^{-Kt}·C\\&\\&N=75-Ce^{-Kt}\end{align}$$

c)

N(1)=20

N(20)=35

$$\begin{align}&N=75-Ce^{-Kt}\\&\\&20=75-Ce^{-K·1} \Longrightarrow  Ce^{-K}=55 \Longrightarrow C=55e^k\\&\\&35=75-Ce^{-20K} \Longrightarrow  Ce^{-20K}=40 \Longrightarrow\\&\\&55e^K·e^{-20K}=40\\&\\&55e^{-19K}=40\\&\\&e^{-19K}=\frac{40}{55}\\&\\&e^{-19K}=\frac{8}{11}\\&tomando \ logaritmos:\\&lne^{-19K}=ln \frac{8}{11}\\&-19k=ln8-ln11\\&\\&k=\frac{ln11-ln8}{19}=0.0167607\\&\Rightarrow\\&C=55e^K=55e^{0.0167607}=55.92961\\&\\&Solucion\ particular:\\&N=75-55.92961e^{-0.0167607t}\\&\end{align}$$

SAludos

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