Hallar el valor de p de la ecuación
Si p es un número primo y ambas raíces de la ecuación :
$$\begin{align}&x'2-px-444p=0\end{align}$$son números enteros,entonces el valor de p que cumple con las condiciones es :
1 respuesta
·
·
¡Hola María!
Es la primera vez que veo un ejercicio de estos, supongo que has querido decir
x^2 - px - 444p = 0
resolviendo la ecuación tendremos
$$\begin{align}&x= \frac{p\pm \sqrt{p^2+1776p^2}}{2}=\\&\\&\frac{p\pm \sqrt{1777p^2}}{2}=\\&\\&\frac{p\pm p \sqrt{1777}}{2}\end{align}$$Y 1777 no tiene raíz cuadrada exacta, es irracional. Y x como suma de racional e irracional será irracional siempre salvo en el caso p=0 , pero como 0 no es n número primo entonces no hay solución, no hay ningún número primo p que cumpla esas condiciones.
:
:
Espera, tuve un fallo bastante gordo, muchas gracias por avisarme Gustavo.
En realidad la respuesta es:
$$\begin{align}&x= \frac{p\pm \sqrt{p^2+1776p}}{2}=\\&\\&\frac{p\pm \sqrt{p(p+1776)}}{2}\\&\end{align}$$p(p+1776) debe ser un cuadrado perfecto ya que si no no la raíz cuadrada será irracional.
Como p es un primo con exponente 1 entonces el segundo factor debe ser un cuadrado por una potencia impar de p
$$\begin{align}&p+1776 = k^2·p^{2n-1}\\&\\&\text{Si dividimos por p}\\&\\&1+\frac{1776}{p}=k^2·p^{2n-2}\\&\\&\text{Luego p debe dividir a 1776}\\&\\&1776=2^4·3·37\\&\\&Luego \;p=2, 3\; \text{ó}\; 37\\&\\&\text{Veamos cual cumple que las raíces son enteras}\\&\\&x=\frac{p\pm \sqrt{p(p+1776)}}{2}\\&\\&x_2=\frac{2\pm \sqrt{2(2+1776)}}{2}=1\pm \sqrt{889}\\&\\&x_3=\frac{3\pm \sqrt{3(3+1776)}}{2}=\frac{3\pm 3 \sqrt{593}}{2}\\&\\&x_{37}=\frac{37\pm \sqrt{37(37+1776)}}{2}=\frac{37\pm 259}{2}=\\&\\&-111 \;y\;148\end{align}$$Luego el número primo es p=37
Saludos.
:
:
Profe, por qué p^2 al lado de 1776? el discriminante debería ser: p^2 - 1776pSaludos - Anónimo
perdón, el discriminante sería (p^2 + 1776p). Saludos - Anónimo
Muchas gracias Gustavo, de verdad muchas gracias porque este es de los ejercicios que me gustan y no había podido hacer nada por equivocarme. - Valero Angel Serrano Mercadal
Me pareció excelente la deducción que hizo llegando a que p debe dividir a 1776! La verdad que muy lindo ejercicio! - Anónimo
Gracias por todo. - Valero Angel Serrano Mercadal
¡Gracias! - Maria Cuadros