Desarrollar el siguiente ejercicio de calculo integral

Se integra por partes:

$$\begin{align}&\int x·e^{-x}dx=\\&\\&u=x \Rightarrow u'=1\\&v'=e^{-x} \Rightarrow v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}\\& \\&\int u v'=uv- \int u'v\\&\\&=-xe^{-x}- \int-e^{-x}dx=\\&\\&=-xe^{-x}-e^{-x}+C\end{align}$$

Saludos:

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¡Hola Oscar!

Hace un momento estabas mandando derivadas, yo creo que es una derivada lo que quieres resolver, deberías dar enunciados más claros.

Si es una derivada hay que usar la regla del cociente y derivadas muy sencillas que conocerás

$$\begin{align}&\left(\frac fg  \right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\&\\&f(x)=\frac{x}{e^x}\\&\\&f'(x)=\frac{1·e^x-x·e^x}{(e^x)^2}=\\&\\&\frac{e^x(1-x)}{(e^x)^2}= \frac{1-x}{e^x}\end{align}$$

Y si es una integral se debe usar la regla:

$$\begin{align}&\int u\;dv= uv-\int v\;du\\&\\&\int \frac{x}{e^x}dx=\int xe^{-x}dx=\\&\\&u=x\qquad\qquad du=dx\\&dv=e^{-x}dx\quad\; v=-e^{-x}\\&\\&=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=\\&\\&-xe^{-x}-e^{-x}+C=\\&\\&-(1+x)e^{-x}+C =\\&\\&-\frac{1+x}{e^x}+C\end{align}$$

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