Calculo integral ejercicios por resolver impropios
Buenos días segundo ejercicio para que me
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Se resuelve por sustitución:
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx\\&sustitución\ e^x=u\\&e^x dx=du\\&\lim_{L \to \infty}\int_{-L}^{L} \frac{du}{1+u^2}=\lim_{L \to \infty} arctan(u) \bigg|_{-L}^{L} =\\&\lim_{L \to \infty} arctan(e^x) \bigg|_{-L}^{L} =\lim_{L \to \infty} arctan(e^L) - arctan(e^{-L})=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\\&\end{align}$$
buenas tardes el termino arctan a que se refiere
Es la función arco tangente.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oscar!
La función no presenta ninguna discontinuidad luego podemos integrarla de una sola vez.
$$\begin{align}& \quad\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\int_{-K}^K \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\\&\\&e^x=t\\&e^xdx=dt\\&\\&=\lim_{K\to \infty}\int_{e^{-K}}^{e^K} \frac{dt}{1+t^2}=\\&\\&\lim_{K\to \infty} arctg\,t\bigg|_{e^{-K}}^{e^K}=\frac \pi 2-\left(-\frac \pi 2 \right)=\pi\end{align}$$Luego es convergente y vale Pi.
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¡Uff perdona! Tuve un fallo suponiendo simetria de la función exponencial respecto al eje X y no es así.
La parte final con algún paso más es:
$$\begin{align}&\lim_{K\to \infty} arctg\,t\bigg|_{e^{-K}}^{e^K}=\\&\\&\lim_{K\to \infty}\left (arctg\,e^K-arctg\,e^{-K}\right)=\\&\\&\frac \pi2-arctg \;0= \frac \pi 2-0=\frac \pi 2\end{align}$$Ojalá te hubieras dado cuenta. Gracias por avisarme Gustavo.
Saludos.
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