Anónimo
Como realizo este ejercicio con integrales
Nunca he sido bueno para acomodar mis ideas en ejercicios de aplicación agradecería que alguien me ayudara con esta integral
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
La fórmula para el centro de masas de una varilla es
$$\begin{align}&x_c=\frac{\int_a^b x\;dm}{\int_a^b dm}\\&\\&\text{Si el diferencial de masa depende la la densidad }\gamma(x)\\&\\&x_c=\frac{\int_a^bx\,\gamma(x)\;dx}{\int_a^b \gamma(x) dx}\\&\\&\text{Las integrales no son sencillas, las resolveré con}\\&\text{funciones hipérbolicas porque con trigonométricas}\\&\text{nos podemos morir.}\\&\\&sh \,x = \text{seno hiperbólico de x}\\&ch \,x = \text{coseno hiperbólico de x}\\&\\&\int x \sqrt{9+x^2}\;dx=\\&\\&x=3\,sh\,t\\&dx= 3\,ch\,t\;dt\\&\\&=\int 3\,sh\,t \sqrt{9+9sh^2t}·3ch\,t \;dt=\\&\\&27\int sh\,t·ch^2\,t\;dt=\\&\\&u=ch\;t\\&du=sh\,t \;dt\\&\\&27\int u^2 du=9u^3=9ch^3t=9 (1+sh^2t)\sqrt{1+sh^2t}=\\&\\&9 \left(1+\frac {x^2}{9}\right)\sqrt{1+\frac {x^2} 9}=\frac{(9+x^2) \sqrt{9+x^2}}3\\&\\&\text{evaluada entre 0 y 4 es}\\&\\&\int_0^4 x \sqrt{9+x^2}\;dx=\frac{125}{3}-9=\frac{98}{3}\\&\\&\\&\text{vamos con el denominador}\\&\\&\int \sqrt{9+x^2}\;dx=\\&\\&x=3\,sh\,t\\&dx= 3\,ch\,t\;dt\\&\\&=\int \sqrt{9+9sh^2t}·3ch\,t \;dt=\\&\\&9\int ch^2\,t\;dt= \frac 92\int (1+ch\, 2t) dt=\\&\\&\frac{9}{2}t+\frac 94sh \,2t=\frac{9}{2}t+\frac 92sh\,t·ch\,t=\\&\\&\frac 92 argsh\,\frac x3+\frac 92·\frac x3·\sqrt{1+\frac{x^2}{9}}=\\&\\&\frac 92 argsh\,\frac x3+\frac x2 \sqrt{9+x^2}\\&\\&\text{que evaluado entre 0 y 4 nos dará}\\&\\&\int_0^4 \sqrt{9+x^2}\;dx= \frac 92 argsh\,\frac 43+10-\frac 92 argsh\,0-0=\\&\\&\frac{9}{2}arg sh \frac 43+10\\&\\&x_c=\frac{\frac{98}{3}}{\frac{9}{2}arg sh \frac 43+10}=\frac{96}{27\,arg sh \frac 43+30}\approx\\&\\&\frac{96}{5966253179}\approx 1.609050054\\&\end{align}$$Esa será la distancia desde el extremo izquierdo.
¡Gracias!
Compartí esta respuesta en Facebook por su interés y con motivo de hacerse un año la he vuelto a poner y me he dado cuenta que una de las dos integrales era casi inmediata no necesitaba sustitución hiperbólica.
$$\begin{align}&\int x \sqrt{9+x^2}dx=\\&\\&t=9+x^2\\&\\&dt= 2xdx\implies xdx=\frac 12dt\\&\\&=\frac 12\int t^{\frac 12}\;dt= \frac 12 \frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}+C=\frac 13t^{\frac 32}+C=\\&\\&\frac 13 \sqrt{(9+x^2)^3}+C\end{align}$$Que es lo mismo que salía pero hecho de forma más sencilla.
Sa lu dos.
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