Como resolver un ejercicio de integración por partes

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¡Hola Roberto!

La fórmula de la integración por partes es:

$$\begin{align}&\int u\,dv = uv - \int v\,du\\&\\&\int (x^2+1)ln\,x\;dx=\\&\\&u=ln\,x\qquad\qquad\; du=\frac {dx}x\\&dv=(x^2+1)dx \quad v=\frac{x^3}{3}+x\\&\\&=\left(\frac{x^3}{3}+x  \right)lnx -\int \left(\frac{x^2}{3}+1\right)dx=\\&\\&\left(\frac{x^3}{3}+x  \right)lnx-\frac{x^3}{9}-x+C\\&\\&\end{align}$$

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Veamos..

$$\begin{align}&\text{Yo nunca me acuerdo de esta regla, así que creo que lo mejor es deducirla, sean las funciones u,v}\\&(uv)' = uv' + u'v\\&\int (uv)' = \int uv' + \int u'v\\&uv = \int uv' + \int u'v\\&\int uv' = uv - \int u'v\\&\text{y a eso quería llegar, ahora lo que queda es ver a quien definimos como u, quien como v' y acá te diría que solo vale}\\&\text{la experiencia, suerte, azar,etc}\\&\text{Yo voy a considerar: }\\&u = ln x \to u'=1/x\\&v' =x^2+1 \to v = x^3/3+x\\&\int (x^2+1)lnx \ dx=ln x (\frac{x^3}{3}+x) - \int \frac{1}{x}(\frac{x^3}{3}+x)\ dx=\\&ln x (\frac{x^3}{3}+x) - \int (\frac{x^2}{3}+1)\ dx=\\&ln x (\frac{x^3}{3}+x) - (\frac{x^3}{9}+x) +C\\&\text{Lo puedes dejar así u operar un poco la expresión como para sacar los parentesís}\end{align}$$