Anónimo
Si alguien sabe desarrollar inecuación de fracciones
Mi duda con otra Inecuación o desigualdad que se debe resolver.
1 respuesta
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! Hola Anónimo!
Muchas cosas dependen de lo que te hayan enseñado, yo simplemente voy a resolverla.
Dividamos la recta real en varias partes por los puntos que hacen que cambien los signos del denominador o del numerador. Estos punto son {-1,0, 3}
a) Si x <-1 ambos denominadores son negativos, al pasarlos de un lado a otro cada uno hace cambiar el sentido de la desigualdad, al haber dos cambios queda igual, luego
x(x+1) <= x(x-3)
como x<-1 < 0 al simplificar el 0 se cambia el sentido
x+1 >= x-3
1>=-3
Se verifica, luego para x<-1 se cumple la desigualdad
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b) -1<x<0 entonces
x+1>0
x-3<0
Luego uno de los dos hace que cambe el sentido de la desigualdad
x(x+1) >= x(x-3)
y como x es negativa al simplificar cambia
x+1 <= x-3
1<=-3
Absurdo, luego si x en (-1,0) NO se cumple
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c) 0<x<3 entonces
x+1>0
x-3<0
Al pasar denominadores al otro lado cambia el sentido
x(x+1) >= x(x-3)
como x>0 al simplificar x no cambia el sentido
x+1 >= x-3
1 >= -3
verdadero, luego en (0,3) se cumple
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d) x>3 entonces los dos denominadores son positivos y pasan al otro lado sin cambiar el sentido
x(x+1) <= x(x-3)
como x>0 tampoco cambia el sentido al simplificarla
x+1 <= x-3
1<=-3 absurdo, luego si x>3 no se cumple.
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Finalmente en los puntos x=-1 y x=-3 no está definida y en x=0 se cumple ya que 0<=0 es verdadero
Luego la solución es
(-inf, -1) U [0,3]
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Se puede comprobar haciendo la gráfica de
x/(x+1) - x/(x-3)
donde sea mayor que 0 será la solución.
Luego la gráfica nos da la razón.
Hola Valero, gracias por responder, pero quisiera que me indicaras cual serían las Restricciones, puntos críticos, tabla y solución. Me enseñaron que se debía determinar con esos cuatro pasos (como dice en la foto) y me cuesta un poco entender tu respuesta... :(
$$\begin{align}& \end{align}$$Ya te dije que todo esto depende de como te lo hayan enseñado. A mi nunca me hablaron de restricciones y puntos críticos en el cálculo de la solución de una inecuación, están usando un lenguaje sui generis.
Si por restricciones entendemos los puntos donde la inecuación no esta definida diremos que son
R = {-1, 3}
Si se refieren a otra cosa tendrías que decírmelo.
Los punto críticos son aquellos en que la derivada es 0 o no está definida. No le encuentro sentido para resolver la inecuación, si acaso para hacer la gráfica.
Los puntos de antes serían críticos ya que la derivada tiene denominador cero en ellos, aparte si quieres hacemos la derivada de la función que he graficado
$$\begin{align}&f(x) = \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-3}\\&\\&f'(x)=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}-\frac{x-3-x}{(x-3)^2}=\\&\\&\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{3}{(x-3)^2}\end{align}$$Los dos sumandos son positivos, luego nunca puede valer 0, por lo tanto los puntos criticos son
C={-1, 3}
Y la tabla hecha sin conocimiento no sirve para nada, y hecha con conocimiento es equivalente a lo que he hecho para solucionar la inecuación. Es decir, habría que tomar un valor de cada intervalo donde el signo es constante y en el siguiente o anterior puede ser un signo distinto.
Entonces habíamos visto que los puntos donde hay cambios son
{-1, 0, 3}
tomaremos un punto de cada división
{-2, -0.5, 1, 4}
$$\begin{align}&Para \;x\in (-\infty,-1) \;tomamos\; x=-2\\&\\&\frac{-2}{-2-3}\le \frac{-2}{-2+1}\\&\\&\frac 25\le2\\&\\&2 \le 10\\&\\&Verdadero\\&\\&----------\\&\\&Para\;x\in(-1,0)\text{ tomamos }x=-0.5\\&\\&\frac{-0.5}{-0.5-3}\le \frac{-0.5}{-0.5+1}\\&\\&\frac{0.5}{3.5} \le \frac{-0.5}{0.5}\\&\\&0.5^2\le-0.5·3.5\\&\\&0.25\le -1.75\quad Falso\\&\\&----------\\&\\&Para \:x\in(0,3) \; tomamos\;x=1\\&\\&\frac{1}{1-3}\le \frac{1}{1+1}\\&\\&\frac 1{-2}\le \frac 12 \quad \text{verdadero}\\&\\&----------\\&\\&Para \; x\in(3,\infty)\;{ tomamos }x=4\\&\\&\frac{4}{4-3}\le \frac{4}{4+1}\\&\\&4\le \frac 45\\&\\&20\le4\quad falso\\&\end{align}$$Y eso es lo que yo entiendo por tabla.
Y la solución es la que ya te dí
$$\begin{align}&x\in (-\infty, -1) \cup [0,3]\end{align}$$Y eso es todo.
Saludos.
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