Anónimo
Determina la función que representa los ingresos totales
Del siguiente ejercicio necesito determinar la función que representa los ingresos totales, es indispensable que se incluya el proceso completo de solución. Gracias
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¡Hola Roberto!
Los ingresos marginales son la derivada de los ingresos totales. Luego los ingresos totales son la integral de los marginales
$$\begin{align}&IT(x)=\int I_{Marg}(x)dx=\\&\\&\int \frac{2x^3-3x^2}{(x^4-2x^3)^2}dx=\\&\\&\text{Si multiplicamos por 2 el numerador vemos}\\&\text{que tenemos la derivada del paréntesis del denominador}\\&\\&=\frac 12\int \frac{4x^3-6x^2}{(x^4-2x^3)^2}dx=\\&\\&\text{Esto es medio inmediato, si quieres haces el }\\&\text{cambio de variable pero no lo veo necesario}\\&\\&=-\frac 12 ·\frac{1}{x^4-2x^3}+C =-\frac{1}{2x^4-4x^3}+C\end{align}$$Y el que ha hecho este problema se ha lucido pero de lo lindo. La finción IT(x) resultante se parece a todo menos a una función de ingreso. ¿Dónde se ha visto que para 0 unidades el límite sea infinito? Debería ser 0, y por eso no se puede arreglar con ninguna constante que pongas. Luego a este problema podríamos llamarlo simplemente calcula la integral indefinida y dejar lo de calcular la función de ingreso.
Saludos.
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El ingreso marginal es la derivada del ingreso total, luego el ingreso total es la integral del ingreso marginal.
$$\begin{align}&IT= \int IM dx= \int \frac{2x^3-3x^2}{(x^4-2x^3)^2}dx=\\&\\&Sustitución:\\&x^4-2x^3=t \Longrightarrow (4x^3-6x^2)dx=dt \Longrightarrow 2(2x^3-3x^2)dx=dt \Longrightarrow\\&\\&(2x^3-3x^2)dx=\frac{dt}{2}\\&\\&IT=\int \frac{dt}{2t^2}= \frac{1}{2} \int t^{-2} dt= \frac{1}{2} \frac{t^{-2+1}}{-2+1}=\frac{1}{2}·\frac{t^{-1}}{-1}=\frac{-1}{2t}=\\&\\&\frac{-1}{2(x^4-2x^3)}+C\end{align}$$Saludos
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