Resolver el siguiente Lím con L'Hôpital

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¡Hola María!

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0+} (1+sen\,4x)^{ctg\, x}= 1^{\infty}\\&\\&\text{es una indeterminación.  Hagamos}\\&\\&L=\lim_{x \to 0+} (1+sen\,4x)^{ctg\, x}\\&\\&\text{extraemos logaritmos neperianos}\\&\\&ln\,L= ln\bigg(\lim_{x \to 0+} (1+sen\,4x)^{ctg\, x}\bigg)=\\&\\&\lim_{x \to 0+} ln\bigg((1+sen\,4x)^{ctg\, x}\bigg)=\\&\\&\lim_{x \to 0+}ctg\,x·ln(1+sen \,4x) =\infty·0\\&\\&\text{seguimos necesitando más transformaciones}\\&\\&\text {Bajamos dos pisos la }ctg\,x\\&\\&ln\,L=\lim_{x \to 0+}\frac{ln(sen \,4x)}{\frac 1 {ctg\,x}}=\\&\\&\lim_{x \to 0+}\frac{ln(sen \,4x)}{tg\,x}=\frac 00\\&\\&\text{ahora ya se puede aplicar l'Hôpital, derivamos}\\&\text{numerador y denominador por separado}\\&\\&ln\,L=\lim_{x \to 0+}\frac{4 \cos 4x}{1+tg^2 x}=\frac{4·1}{1+0}=4\\&\\&\text{Aplicamos la función }e^x\text{ en ambos lados}\\&\\&e^{ln\,L}=e^4\\&\\&L=e^4\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Maria Cuadros!

Para resolver este límite hay que recordar alguna propiedad de los límites y de los logaritmos

lim lnf(x)=ln lim f(x)

lna^b=b lna

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0^+} (1+sin4x)^{cotx}=(1+0)^{\infty}=1^{\infty}=A\\&\\&lnA=ln \ \lim_{x \to 0^+} (1+sin4x)^{cotx}= \lim_{x \to 0^+} ln (1+sin4x)^{cotx}=\\&\\&\lim_{x \to 0^+} cotx ·ln(1+sin4x)=\infty·0=\\&\\&\lim_{x \to 0^+}  \frac{ln(1+sin4x)}{tanx}=\frac{0}{0}= L'Hopital=\\&\\&\lim_{x \to 0^+} \frac{ \frac{4cos4x}{1+sin4x}}{1+tan^2x}=\lim_{x \to 0^+} \frac{4cos4x}{{(1+sin4x)(1+tan^2x)}}=\frac{4}{(1)(1)}=4\\&\\&lnA=4 \Longrightarrow A=  e^4\\&\\&\lim_{x \to 0^+} (1+sin4x)^{cotx}=e^4\\&\\&\\&\end{align}$$

Si es lo que creo, entonces el cálculo es:

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0^+} (1+sen(4x))^{cot(x)}\\&\text{este límite es }1^{\infty} \text{que no se puede resolver con L'Hopital, ya que estos sirven para resolver }\\&\text{indeterminaciones del tipo 0/0 o } \infty/\infty \text{Para esto hay que transformar la expresión, sea L el límite a calcular}\\&\lim_{x \to 0^+} (1+sen(4x))^{cot(x)}= L\\&\text{Aplicando logaritmos a ambos lados}\\&ln \bigg(\lim_{x \to 0^+} (1+sen(4x))^{cot(x)}\bigg)= ln(L)\\&\lim_{x \to 0^+} ln\bigg((1+sen(4x))^{cot(x)}\bigg)= ln(L)\\&\text{Voy a operar solo con la parte izquierda}\\&\lim_{x \to 0^+} cot(x)\cdot ln(1+sen(4x))=\\&\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x)}{sen(x)}\cdot ln(1+sen(4x))=\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x)\cdot ln(1+sen(4x))}{sen(x)}\\&\text{Ahora sí tenemos una expresión 0/0 y podemos usar L'Hopital}\\&\lim_{x \to 0^+} \frac{-sen(x)\cdot ln(1+sen(4x))+\frac{\cos(x)}{(1+sen(4x))}\cdot \cos(4x)\cdot 4}{\cos(x)}\\&Cuando \ x \to 0^+ \text{el numerador tiende a 4 y el denominador tiende a 1, así que todo tiende a 4}\\&\text{Pero eso en realidad era el ln(L), para hallar L tenemos:}\\&ln(L) = 4\\&e^{ln(L)} = e^4\\&L = e^4\\&\\&\end{align}$$