Resolver la siguiente integral indefinida
resolver la integral indefinida si pueden explicar por favor para tener mayor entendimiento
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Albert!
$$\begin{align}&\int (2\, sech\,x·tanh\,x-x)dx=\\&\\&\text{La inmediata irá al principio, engaña menos}\\&\\&-\frac{x^2}2+2 \int \frac{1}{ch\,x}·\frac{sh\,x}{ch\,x}dx=\\&\\&-\frac{x^2}2+2 \int \frac{shx}{ch^2x}dx=\\&\\&t=ch\,x\implies dt=sh\,xdx\\&\\&=-\frac{x^2}2+2 \int \frac{1}{t^2}dt=\\&\\&-\frac{x^2}2-\frac 2t+C=\\&\\&-\frac{x^2}2-\frac 2{ch\,x}+C\\&\\&\text{o en anglosajón sería}\\&\\&-\frac{x^2}2-\frac 2{cosh\,x}+C\\&\end{align}$$:
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Respuesta de Lucas m
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La 1ª parte se hace con un cambio de variable y
La 2ªes inmediata:
$$\begin{align}&\int 2 sechx·tanhx=2 \int \frac{1}{coshx}·\frac{senhx}{coshx}dx=2 \int \frac{senhx}{cosh^2x}dx=\\&\\&coshx=t \Rightarrow senhxdx=dt\\&\\&=2 \int \frac{1}{t^2}dt=2 \int t^{-2}dt=2 \frac{t^{-2+1}}{-2+1}=-\frac{2}{t}=\frac{-2}{coshx}\\&\\&\int [2 sechx·tanhx-x]dx=\frac{-2}{coshx}-\frac{x^2}{2}+C\\&\\&\end{align}$$