Anónimo
¿Cómo desarrollo la solución del problema?
Un tanque contiene inicialmente 100 L de una solución salina que contiene 25 kg de sal. Se vierte agua dulce en el tanque a una velocidad de 4 kg/min, mientras que sale del tanque una solución bien mezclada a la misma velocidad. Hallar:
- a. La cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t.
- b. El tiempo que se necesita para que haya una cantidad de 10 kg de sal.
- c. Si averiguar la cantidad de sal que queda en el tanque:
Solución:
- a) Q=e^(-t/25)
- b) t=22.9 min
- c) Q=0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$--
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¡Hola Anónimo!
$$\begin{align}&\text{Sea Q(t) la cantidad de sal en t medido en minutos}\\&\text{En el instante t+dt salen 4dt kg del tanque}\\&\text{La cantidad de sal que sale es }\\&\\&Q(t)·\frac{4dt}{100} = \frac{Q(t)}{25}dt\\&\\&\text{Luego la cantidad de sal en t+dt es}\\&\\&Q(t+dt)=Q(t) - \frac{Q(t)}{25}dt\\&\\&Q(t+dt)-Q(t) = -\frac{Q(t)}{25}dt\\&\\&\frac{Q(t+dt)-Q(t)}{dt}=-\frac{Q(t)}{25}\\&\\&\text{Tomando límite cuando dt }\to 0 \\&\\&\lim_{dt\to 0}\frac{Q(t+dt)-Q(t)}{dt}=-\frac{Q(t)}{25}\\&\\&\text {lo de la izquierda es la derivada}\\&\\&\frac{dQ(t)}{dt} =-\frac{Q(t)}{25}\\&\\&\frac{dQ'(t)}{Q(t)}=-\frac 1{25}dt\\&\\&\text{Integrando y poniendo una constante adecuada}\\&\\&ln \,Q(t)=-\frac t{25}+ ln\,C\\&\\&\text{elevando e a ambos términos}\\&\\&Q(t) = e^{-t/25}·e^{lnC}\\&\\&Q(t) = Ce^{-t/25}\\&\\&\text{En t=0 tenemos Q(0)=25 luego}\\&\\&25=Ce^{-0/25} = C\\&\\&\text{luego la fórmula es}\\&\\&Q(t)=25e^{-t/25}\\&\\&\\&\\&2) \text{Para que hay 10 kg sal}\\&\\&10=25 e^{-t/25}\\&\\&e^{-t/25}=\frac {10}{25}=\frac 25=0.4\\&\\&-\frac{t}{25}=ln\,0.4\\&\\&t=-25·ln\,0.4 \approx24.08371 min\\&\\&\\& \\&\text{3) No está completo el enunciado, creo}\\&\quad\text{creo que quieres decir si t tiende a infinito}\\&\\&\lim_{t\to\infty}25e^{-t/25} = 25·e^{-\infty}=25·0=0\\&\\&\end{align}$$--
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