Proyección de un vector sobre otro.
Espero puedan ayudarme :)
Usar el concepto de proyección de un vector sobre otro para calcular el área del triángulo cuyos vértices son:
A(1,3,2) B(2,5,3) C(-2,0,0)
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Respuesta de Lucas m
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Teniendo en cuenta que la interpretación geométrica del producto escalar está relacionada con la proyección de un vector sobre otro, al utilizar el Producto escalar ya utilizas implícitamente este concepto.
Directamente calculando la proyección no tengo claro el proceso.
Utilizaré el P.E para calcular un ángulo del triángulo y luego con la fórmula trigonométrica del área de un triangulo calcularé esta.
Area=1/2 b·c·sinA A es el ángulo comprendido entre los lados b y c.
$$\begin{align}&\vec{AB}=(2,5,3)-(1,3,2)=(1,2,1) \Rightarrow |\vec{AB}|=\sqrt {6}\\&\\&\vec{AC}=(-2,0,0)-(1,3,2)=(-3,-3,-2) \Rightarrow | \vec{AC}|= \sqrt {22}\\&\\&P.E\\&\vec{AB}· \vec {AC}=(1,2,1)·(-3,-3,-2)=-3-6-2=-11\\&\\&\cos \alpha=\frac{\vec{u}· \vec{v}}{| \vec{u}|· |\vec{v}|}=\frac{-11}{ \sqrt 6· \sqrt{22}}=\frac{-11}{\sqrt{132}}\\&\\&\Rightarrow \sin^2\alpha+\cos^2 \alpha =1\\&\\&\sin^2 \alpha=1-\frac{121}{132}=\frac{11}{132} \Rightarrow \sin \ \alpha=\sqrt{\frac{11}{132}}\\&\\&Area=\frac{1}{2} \sqrt 6·\sqrt {22}·\sqrt{\frac{11}{132}}=\frac{\sqrt{11}}{2} \ u^2\end{align}$$
