¿Cómo evaluar una integral y cambiar el orden de integración?

Si entendí bien tu duda, necesitas conocer el área entre las dos curvas.

Para hacer esto, lo primero que tenes que tener en claro es el dominio en el cual vas a calcular el área. Este dominio, según lo que veo, queda comprendido entre los puntos donde se intersectan las curvas, es decir que tenes dos puntos donde ambas curvas son iguales y los podes conocer haciendo la siguiente igualdad:

                                                     4-X*X=X+2

De aquí sacas los dos puntos de X (los llamemos "a" al que tenes a tu izquierda y "c" al de tu derecha) que van a terminar siendo los límites de tu integral.

Fijate en las siguientes imagenes:

 (Ecuación 2)

Ya tenes los puntos "a" y "c", los encontraste más arriba. El punto "b" sería 0 (cero).

La función f(x)=(4-X*X)-(X+2).

Usa la Ecuación 2 para resolver tu problema y acordate que esta es una propiedad de aditividad del intervalo, que se enuncia de la siguiente manera:

Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

Primero calcularemos los puntos de intersección para saber los extremos izquierdo y derecho del intervalo de integración

4-x^2=x+2

x^2+x-2=0

que se factoriza sin ninguna dificultad

(x+2)(x-1)=0

Luego las raíces son x=-2  y  x=1

Y el área es

$$\begin{align}&\int_{-2}^1\left(4-x^2-(x+2)\right)dx=\\&\\&\int_{-2}^1(2-x^2-x)dx=\\&\\&\left[2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}  \right]_{-2}^1=\\&\\&2-\frac 13-\frac 12+4-\frac 83+2=8-\frac {9}3-\frac 12=\\&\\&8-3-\frac 12=5-\frac 12 = \frac 92\end{align}$$

Con respecto a lo de cambiar el orden de integración no sé muy bien lo que quieres decir.  Si te refieres a cambiar las funciones, minuendo por sustraendo y viceversa, el resultado será el opuesto,  -9/2

Si te refieres a intercambiar los límites de integracón también será el opuesto, -9/2

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Y eso es todo.