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El recinto pedido es:
Puntos de corte:
$$\begin{align}&y=2x\\&y=x^2-2x\\&\\&2x=x^2-2x\\&x^2-4x=0\\&x(x-4)=0\\&x_1=0\\&x_2=4\\&\\&Area=\int _0^4[2x-(x^2-2x)]dx=\\&\\&\int_0^4 (4x-x^2)dx=\Bigg [\frac{4x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \Bigg]_0^4=\\&\\&32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \ u^2\end{align}$$
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Aunque parezca que quiera trabajar menos te recomendaría aprender a hacer algunas integrales sin necesidad de hacer la gráfica. No dudo que en algunos casos es casi impresicindible, pero hay otros como este donde no es necesaria.
Las funciones
f(x) = 2x
g(x) =x^2 - 2x
Son una recta y una parábola. Si piensas en ellas seguro que puedes ver que se cortan en dos puntos o son tangentes o no se cortan. No va a haber complicaciones que se crucen en otro punto distinto de los extremos, luego si se cortan los extremos de la integral serán los puntos de corte e integra entre ellos y ya está.
Otra duda que te puede quedar cual es la función de arriba y la de abajo en la región que determinan. Puedes calcular el valor de las funciones en un punto intermedio y así sabrás cual es la superior. Pero puedes llegar a más, la parabola tiene forma de U por ser positivo el coeficiente de x^2, luego si la recta la corta la cortará por encima entre los puntos de corte. Y poir lo tanto la función del minuendo será la recta y la del sustraendo la parábola.
Calculamos los puntos de corte
x^2 - 2x = 2x
x^2 - 4x = 0
x(x-4) = 0
Los puntos de corte son 0 y 4, luego la integral es
$$\begin{align}&A=\int_0^4[2x-(x^2-2x)]dx=\\&\\&\int_0^4(4x-x^2)dx=\\&\\&\left[2x^2-\frac {x^3}{3} \right]_0^4=32-\frac {64}3=\frac{32}{3}u^2\end{align}$$Y eso es todo.