Un mercado monopólico por medio de parábola

El profesor me dice al respecto del siguiente ejercicio, que es correcto el resultado, pero que lo resuelva por medio de la parábola. Por favor me podría ayudar a resolverlo por medio de la parábola Gracias y saludos

Pongamos el ingreso solo en función de por ya que se puede
R(x) = px = (175 -0,5x)x = 175x - 0,5x^2
Derivamos R(x) e igualamos a cero para calcular los máximos o mínimos
R '(x) = 175 - (0,5)2x = 175 - x
175 - x = 0
x = 175
Sabemos que ese punto es un máximo porque es el vértice de una parábola invertida. Pero si no queremos hacer uso de eso calculamos la derivada segunda
R ''(x) = -1
Siempre negativa, luego es negativa en x = 175 y por tanto x=175 es máximo
Y calculado x calculamos p ahora
p = 175 -0,5 · 175 = 175 - 87,5 = 87,5
Luego el precio que maximiza el ingreso es 87,5


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5.848.375 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Tendría que saber que entiende exactamente el profesor por resolver por medio de la parábola. Supongo que derivadas habéis dado ya por fuerza, luego lo que tiene son ganas de fastidiar.

Si en la teoría te pone en algún sito que el vértice de la parábola

f(x) =ax^2+ bx + c

es el punto -b/2a ya está, la ecuación de está parábola es

R(x) = -0.5x^2 + 175x

donde

a=-0.5

b= 175

c= 0

y el vértice es

x = -175 / (-2 · 0.5) = 175 / 1 = 175

y después se calcula p igual que antes

p= 175 - 0.5 · 175 = 175 - 87.5 = 87.5

Y el precio que maximiza el ingreso es 87.5

Y si no se puede usar eso de que el vértice es -b/2a, supongo que se podrá usar que la parábola es simétrica respecto al eje vertical que pasa por el vértice por lo que las raíces están a igual distancia de ese eje y el vértice será el punto intermedio entre las raíces.

Y las raíces de R(x) son:

-0.5x^2 + 175x = 0

x=0

-0.5x + 175 = 0

-0.5x = -175

x = 175/0.5 = 350

Luego las raíces son 0 y 350 y el punto intermedio es (0+350)/2 = 175

Y eso es todo.

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