Halla una base del subespacio vectorial de R3 descrito por las siguientes ecuaciones paramétricas

(a,a+b,-b)=(a,a,0)+(0,b,-b)=a(1,1,0)+b(0,1,-1)

Luego B={(1,1,0),(0,1,-1)}

(2,1,1)=a(1,1,0)+b(0,1,-1)

2=a

1=a+b ==>b=1-a=-1

1=-b ==> b=-1

(2,-1)

·

Los vectores de este subespacio pueden ser obtenidos así

(a, a+b, -b) = (a, a, 0) + (0, b, -b) = a(1,1,0) + b(0,1,-1) para todos a, b de R

Los vectores

B={(1,1,0), (0,1,-1)}

Son un sistema generador, y además son un sistema libre porque no son proporcionales

k(1,1,0) = (0,1,-1)

para que se cumpliera la primera coordenada sería k=0 pero entonces

0(1,1,0) = (0,1,-1)

(0,0,0) = (0,1,-1)

absurdo.

Luego es un sistema libre, y como era generador es una base.

·

Respecto de esta base será

a(1,1,0) +b(0,1,-1) = (2,1,1)

(a, a+b, -b) = (2,1,1)

a=2

a+b=1  ==>2+b=1 ==> b=1-2 = -1

-b=1  ==> b=-1

Y la asignación a=2, b=-1 se cumple en las tres ecuaciones, luego es la solución, las coordenadas son

(2, -1)

·

Y eso es todo.