Encontrar la ecuación de la elipse que cumpla con los siguientes parámetros
Se desea construir un puente peatonal en forma de elipse para cruzar una carretera muy transitada.
Se sabe que la carretera tiene 4 carriles, 2 en un sentido y 2 en otro, y una separación de 1 metro entre los carriles de ida y los de vuelta. Por esta carretera, en el carril de baja velocidad, circularán tráilers, los cuales tienen una altura máxima permitida de 4.15 metros, por lo que se ha decidido dejar 15 cm más de altura, justamente en la línea de acotamiento, como medida de seguridad para que éstos puedan circular libremente. Por las dimensiones del terreno se desea que los extremos del puente estén situados a 2 metros de distancia de donde inicia la línea de acotamiento de la carretera.
Con la información que tiene, el arquitecto ha propuesto el siguiente esquema
- ¿Puedes ayudarle a definir la ecuación que describe la forma del puente?
- ¿Cuál es la altura máxima del mismo? Esboza, como una gráfica, el puente obtenido
Sugerencia: Ubica el sistema de coordenadas en la posición que facilite los cálculos
Para resolverlo tome los focos como (-8,0) y (8,0) y 4 puntos sobre la elipse (-8,4.3),(-8,-4.3),(8,4.3) y (8,-4.3), pero obtengo un sistema con raíces infinitas
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No sé cómo has sacado que los focos son esos puntos, yo no lo veo tan sencillo.
De los cuatro puntos que das solo uno es útil, pongamos (8, 4.3) los otros 3 surgen por simetría.
Y otro punto importante que podemos deducir de los datos es el vértice, que como está a 2 metros del borde de la carretera es el punto
(10, 0)
Con esto sabemos que el parámetro a de la elipse es 10. Y como su centro es (0,0) la ecuación canónica es:
$$\begin{align}&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\&\\&\text{solo falta calcular }b^2\text{, pero como sabemos}\\&\text{que pasa por el punto (8, 4.3)}\\&\\&\frac{8^2}{10^2}+\frac{4.3^2}{b^2}=1\\&\\&\frac{4.3^2}{b^2}=1-\frac{64}{100}=0.36 = 0.6^2\\&\\&b^2=\left(\frac{4.3}{0.6}\right)^2=\left(\frac {43}6\right)^2\\&\\&\text{luego la ecuación canónica es}\\&\\&\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{43}{6} \right)^2}=1\\&\end{align}$$Por cierto, los focos están en
$$\begin{align}&c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{10^2-\frac{43^2}{6^2}}=\\&\\&\sqrt{\frac{3600-1849}{36}}=\frac{\sqrt{1751}}{6}\approx 6.974158651m\end{align}$$La altura máxima es el parametro b de la elipse
43/6 m = 7.16666...m
Y esta es la gráfica
El propio programa se encarga de dejar la ecuación a su manera, yo introduje la canónica que había calculado. Esta general que ha hecho Geogebra con más precisión es:
C1: 0.64x² + 1.2460789616y² = 64
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Y eso es todo.
