Ayuda con este problema de algebra

Valeroasm m puedes colaborar con este ejercicio. Gracias.

De la siguiente elipse 9x^2+ 25y^2= 225. Determine:

a. Centro
b. Focos
c. Vértices

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Respuesta
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Para contestar estas preguntas sería bueno saber la teoría concreta que os han enseñado y como habéis resuelto algún problema similar. Lo haré como creo que pueda ser.

Las elipses cuya ecuación tiene nulo el término en xy tienen ejes paralelos al eje X y el eje Y. En esta sucede esto. No sé si por el nivel de estudios habrás dado que la ecuación general de una elipse sería

ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0

Normalmente en el colegio no se estudian las que tienen el término cxy porque los ejes son oblicuos.

Una elipse puede reducirse a una forma canónica como esta cuando el eje longitudinal es paralelo al eje X

$$\begin{align}&\frac{(x-d)^2}{a^2}+\frac{(y-e)^2}{b^2}=1\\ &\\ &donde\; a\ge b, \; \\ &\text {y (d,e) es el centro}\end{align}$$

Y cuando el eje longitudinal es paralelo al eje Y la ecuación canónica es:

$$\begin{align}&\frac{(x-d)^2}{b^2}+\frac{(y-e)^2}{a^2}=1\\ &\\ &donde\; a\ge b, \; \\ &\text {y (d,e) es el centro}\end{align}$$

Vamos a transformar la ecuación que nos dan en canónica.

$$\begin{align}&9x^2+25y^2=225\\ &\\ &\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=1\\ &\\ &\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}= 1\\ &\\ &\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\end{align}$$

Los valores de d y e que habíamos puesto en la ecuación canónica no aparecen aquí, no lo hacen porque son 0

d=0, e=0 y el centro es (0,0)


Y eso significa que el eje mayor y menor de la elipse son el X y el Y. El eje longitudinal es el mayor que es el que tiene mayor el denominador, luego el eje longitudinal es X

La raíz cuadrada de los denominadores, es decir los números a y b se llaman semiejes mayor y menor. Los vértices son los dos puntos sobre el eje longitudinal que están a distancia a del centro.

En esta elipse es x la que tiene denominador 5^2 luego el eje longitudinal es el X y los vértices están situados en ese eje longitudinal a distancia 5 del centro, luego los vértices son:

(-5,0) y (5,0)

Y los focos son puntos sobre el eje longitudinal que están a la semidistancia focal del centro.

La semidistancia focal se llama c y se calcula de esta relación

a^2 = b^2 + c^2

5^2 = 3^2 + c^2

c^2 = 25 - 9

c^2 = 16

c = 4

Luego los focos son (-4,0) y (4,0)

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si vosotros hacéis el cálculo de otra forma ya me lo dirás.

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