Ecuación diferencial de las circunferencias
Encontrar la ecuación diferencial del siguiente sistema de curvas:
a) Todas las circunferencias de radio 1 y centro sobre la recta x=y
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Hagamos la ecuación general de esa familia de curvas.
Como sabemos la ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es
$$\begin{align}&(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\&\\&\text{Nos dicen que el radio es 1 y que las }\\&\text{coordenadas del centro son iguales}\\&\\&(x-h)^2+(y-h)^2 = 1\\&\\&\text{Derivamos implícitamente}\\&\\&2(x-h)+2(y-h)y' = 0\\&\\&x-h +yy'-hy' = 0\\&\\&\text{despejamos h}\\&\\&h(y'+1)=x+yy'\\&\\&h= \frac{x+yy'}{y'+1}\\&\\&\text{Volvemos a derivar implícitamente}\\&\\&0=\frac{1+(y')^2+yy'' -(x+yy')y''}{(y'+1)^2}\\&\\&\text{el denominador es siempre positivo,}\\&\text{puede pasarse al otro sitio y }\\&\text{multiplicarase por cero}\\&\\&1+(y')^2+yy'' -(x+yy')y''=0\\&\end{align}$$Y ya solo es cuestión de que lo dejes a tu gusto, puedes ampliar el factor común o dejarlo todo como sumandos, puedes dejar la notación con comillas o poner la de diferenciales.
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Y eso es todo.
