Demostración de las siguientes identidades

·

1) Partimos de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos que se da por sabida y demostrada.

$$\begin{align}&\cos(a+b) = \cos a· \cos b - sen\,a ·sen\,b\\&\\&\text{Si a=b tenemos la fórmula del ángulo doble}\\&\\&\cos 2a=\cos(a+a) = \cos a·\cos a - sena·sena\\&\\&\cos 2a = \cos^2a-sen^2a\\&\\&\text{como }sen^2a+\cos^2a=1\implies-sen^2a=\cos^2a-1\\&\text{sustituimos}\\&\\&\cos 2a = \cos^2a+\cos^2a-1=2cos^2a-1\\&\\&\cos 2a +1 =2cos^2 a\\&\\&\cos^2a =\frac{1+\cos 2a}{2}\\&\\&\cos a= \sqrt{\frac{1+\cos 2a}{2}}\\&\\&\text{y ya solo queda aplicarlo al ángulo mitad,}\\&\text{hagamos } a=\frac x2\\&\\&\cos \left(\frac x2\right)=\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\\&\\&------------------\\&\\&\text{Y para el seno una vez calculado el coseno}\\&\\&sen\left(\frac x2\right)= \sqrt {1-\cos^2\left(\frac x2\right)}=\\&\\&\sqrt{1-\frac{1+cosx}{2}}=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\\&\end{align}$$

Y eso estaría bien salvo por los signos, pero como nos dicen que x está comprendido entre 0 y pi/2  (podrían haberlo ampliado tanquilamente a 0 y pi) entonces los senos y cosenos de x/2 son positivos  y está bien.

Y eso es todo.

Son las fórmulas del ángulo mitad:

http://olmo.pntic.mec.es/dmas0008/demo/angulomitadtrigonometria.pdf