Si se define una función f(x) como la relación biunívoca entre los valores de un Dominio R y un Contradominio [𝟐,𝟖]

¿Será esto posible? En pocas palabras ¿realmente se da la relación de un elemento del Dominio con un elemento del Contradominio? Justifica tu respuesta

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No se entiende muy bien lo que quieres decir. Si el dominio es todo R es muy difícil hallar esa función. Mas sencillo sería si el contradomio fuese (2,8)

Si el dominio no es todo R y tomamos uno de la forma

[a, b] 

con a distinto de b, la función puede ser esta

$$\begin{align}&f(x) = 6\left(\frac{x-a}{b-a}\right)+2\\&\\&\text{la cual lleva el punto a a}\\&\\&f(a) =  6\left(\frac{a-a}{b-a}\right)+2 =6·0+2=2\\&\\&\text{y el punto b a}\\&\\&f(a) =  6\left(\frac{b-a}{b-a}\right)+2 =6·1+2=8\end{align}$$

Lo que hace la función es comprimir el intevalo [a, b] al intervalo [0,1], luego lo multiplica por 6 para que sea el intervalo [0,6] y después lo desplaza a [2,8]

Y los puntos intemedios entre a y b los lleva a puntos intermedios entre 2 y 8. Y no cuesta nada comprobar que es intectiva y sobreyectiva

$$\begin{align}&Si f(x)=f(y)\\&\\&6\left(\frac{x-a}{b-a}\right)+2=6\left(\frac{y-a}{b-a}\right)+2\\&\\&6\left(\frac{x-a}{b-a}\right)=6\left(\frac{y-a}{b-a}\right)\\&\\&\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-a}{b-a}\\&\\&x-a=y-a\\&\\&x=y\\&\\&\text {luego es inyectiva}\\&\\&Sea\; y |\in[2,8]\\&\text{vamos que existe x en [a,b] tal que f(x)=y}\\&\\&6\left(\frac{x-a}{b-a}\right)+2=y\\&\\&6\left(\frac{x-a}{b-a}\right)=y-2\\&\\&\frac{x-a}{b-a}\frac{y-2}{6}\\&\\&x-a = \frac{(b-a)(y-2)}{6}\\&\\&x= a+\frac{(b-a)(y-2)}{6}\\&\\&\text{Veamos que }a\le x\le b\\&\\&Como \;b>a \quad y \quad y\ge2 \implies\\&\\&\frac{(b-a)(y-2)}{6}\ge 0\implies\\&\\&x= a+\frac{(b-a)(y-2)}{6}\ge a\\&\\&\text{y es una función ceciente, el máximo}\\&\text{valor será para y=8}\\&\\&x= a+\frac{(b-a)(8-2)}{6}= a+(b-a)=b\\&\\&\text{luego existe } x \in [a,b] \text{ tal que }f(x)=y\\&\\&\text{es sobreyectiva}\end{align}$$

Y al ser inyectiva y sobreyectiva es biyectiva o unívoca.

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