Demostración función biyectiva

Le escribo con el fin solicitar ayuda con el siguiente ejercicio:

Determine si la siguiente función es inyectiva y/o sobreyectiva. En el caso en que sea biyectiva, determine su inversa:

f(x,y)=(1/3 x+3y, 1/3y-3x)

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Respuesta
1

Es una función de R2 en R2. Para saber si es inyectiva demostraremos que si dos elementos tienen la misma imagen son el mismo elemento

Sean (a, b) y (c, d) dos elemento que tienen la misma imagen

(a/3 + 3b, b/3 - 3a) = (c/3 + 3d, d/3 - 3c)

Se deducen estas dos ecuaciones

a/3+3b = c/3+3d

b/3-3a = d/3-3c

despejamos a en la primera

a = 3(c/3 + 3d - 3b)

y lo sustituimos en la segunda

b/3 - 9(c/3 + 3d - 3b) = d/3 - 3c

b/3 - 3c - 27d + 27b = d/3 - 3c

b/3 - 27d + 27b = d/3

b/3 + 27b = d/3 + 27d

(82/3)b = (82/3)d

b=d

y con este resultado vamos a la primera

a/3+3b =c/3+3b

a/3 = c/3

a=c

Luego de las dos igualdades que hemos obtenido se deduce

(a, b) = (c,d)

y por lo tanto es inyectiva.

Par demostrar que es sobreyectiva tendremos que encontrar el origen para cualquier imagen.

Sea (c,d) € R2, tenemos que encontrar un (a,b) € R2 tal que f(a,b) = (c,d)

a/3 + 3b = c

b/3 - 3a = d

Multiplicamos la primera por 9 y la sumamos a la segunda para resolver por reducción

b/3 + 27b = d+9c

(82/3)b = d+9c

b = (3/82)(d+9c) = (3d+27c) / 82

y ahora vamos a la segunda con este resultado

[(3d+27c)/82]/3 -3a = d

(d+9c)/82 -3a = d

3a = (d+9c)/82 -d = (9c - 81d) / 82

a = (3c-27d) / 82

Luego dado un punto (c, d) tenemos el punto

(a,b) = ((3c-27d) / 82, (3d+27c) / 82)

tal que f(a,b)=(c,d) y la función es sobreyectiva.

Vamos a comprobar que es verdad por si nos hemos equivocado en las cuentas

(c-9d)/82 + (9d+81c)/82 = 82c/82 = c

(d+9c)/82 - (9c-81d)/82 = 82d/82 = d

Está bien

El proceso para construir la inversa es similar al que hemos seguido para demostrar que es sobreyectiva.

Si f(a,b) = (c,d) ==> (a,b) = f^1(c,d)

Y eso hemos hecho en el apartado anterior, poner (a, b) como función de (c, d), luego hemos calculado la inversa. Vamos simplemente a expresarla con las variables x e y en vez de c y d

f^-1(x, y) = ((3x-27y) / 82, (3y+27x) / 82)

Y la comprobación de que f[f^-1(x,y)] = (x, y) es también similar a la que hicimos.

Y eso es todo.

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