Resolver los siguientes ejercicios de movimiento de proyectiles con procedimiento y con las fórmulas
1 un jugador de tejo lanza el hierro con un Angulo de 18 grados y cae en un punto citudo a 18 m del lanzador
¿Qué velocidad inicial le provoco al tejo?
2 con que Angulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance máximo sea igual a la altura que alcanza el proyectil
3 un bateador golpea una pelota con un Angulo de 25 grados y es recogida 6 segundos más tarde
¿Qué velocidad le proporciono el bateador a la pelota?
2 Respuestas
Para comenzar tienes algunas fórmulas útiles del tema:
Para el problema 1) te dan el alcance horizontal= 18 metros.y el angulo de tiro = 18º sobre horizontal. Te piden Vo
Si en la ultima ecuación ( parábola) haces y=0... proyectil llego a tierra a los 18 metros horizontal... tienes:
x tg fi = gx2 / 2 Vo2 cos2 fi ...............Vo2 = X . g / sen 2fi ............
= 18 m . 9.80 m/seg2 / sen 36º = 176.4/ 0.5878 = 300.1 (m/seg)2
Vo = modulo del vector = V 300.1 = 17.323 m/seg.
Vx= 17.323 cos 18º = 16.475 m/seg.,,,,,,,,,,Vy = 17.323 sen 18º= 5.353 m/seg.
Problema 2) Alcance= Altura.
X = alcance= (Vo2/g )sen (2fi) lo hara luego de recorrer la trayectoria parabolica.total..durante T = X/ V0.cos fi segundos.
Para altura màxima serìa.el tiempo mitad = . t=T/2 = (X/2)/ V0 cosfi
Si reemplazas este tiempo en la formula de Y = ALTURA MAXIMA = (V0 )2 (sen fi)2 / 2g
Igualando ambas o sea X=Y llegas a :
(Vo2/g )sen (2fi) = (V0 )2 (sen fi )2/ 2g ...........
sen (2fi) = 2 senfi cosfi = (sen fi)2 ........2cosfi=sen fi....fi= arc tg 2 = 63.43º
Problema 3) Aquí habría que hallar V0 tal que el recorrido libre de vuelo sea de 6 segundos... fi= 25º
Luego pienso que (6 seg) = 0
y(6) = Vo sen fi t - 1/2 g t2 = Vo sen 25º ( 6seg) - 1/2 9.80 .(36 seg2)= 0
Vo sen 25º ( 6seg) = 1/2 9.80 .(36 seg2)
Vo = 1/2 9.80 .(36 seg2) / sen 25º ( 6seg) = 11.59 m/seg.
Reescribo las dos ultimas líneas
Vo(m/seg) sen 25º ( 6seg) = 1/2 9.80 m/seg2 .(36 seg2)
Vo = 1/2 9.80m/seg2 .(36 seg2) / sen 25º ( 6seg) = 11.59 m/seg.
Perdón... se deslizo un error en la ultima línea:
Vo = 1/2 9.80m/seg2 .(36 seg2) / sen 25º ( 6seg) = 69.56 m/seg.
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Yo lo haré más deductivo, sin tener que saber tantas fórmulas.
El tejo describe en el eje X un movimiento uniforme con velocidad constante igual a la velocidad inicial en el eje X
x(t) = Vo·cos(18º)·t
Y en el eje Y describe un movimiento uniformemente acelerado con aceleración -g = -9.8m/s^2 y velocidad inicial la velocidad inicial en el eje Y
y(t) = (1/2)(-9.8)t^2 + Vo·sen(18º)·t
y(t) = -4.9t^2 + Vo·sen(18º)·t
El momento en que cae el tejo es cuando x(t)=18, y(t)=0
18 =Vo·cos(18º)·t
0 = -4.9t^2 + Vo·sen(18º)·t
despejamos Vo en la primera para llevarlo a la segunda
$$\begin{align}&V_0 = \frac {18}{\cos(18º)·t}\\&\\&4.9t^2 = \frac {18}{\cos(18º)·t}·sen(18º)·t\\&\\&4.9t^2 =18·tg(18º)\\&\\&t = \sqrt{\frac{18·tg(18º)}{4.9}}=1.09251204 s\\&\\&\text{Y vamos a la ecuación de arriba}\\&\\&V_0=\frac {18}{\cos(18º)·1.09251204}=17.32367182\, m/s\end{align}$$Y eso es todo de momento, ya haré los otros en otro momento, ahora no puedo.
$$\begin{align}& \end{align}$$$$\begin{align}& \end{align}$$Vamos con el segundo.
Sea alfa el ángulo con que se lanza.
Las ecuaciones de posición serán
x(t) = Vo·cos(alfa)·t
y(t) = -4.9t^2 + Vo·sen(alfa)·t
La alturá máxima se obtiene cuando la derivada de y es cero
y'(t)=-9.8t + Vo·sen(alfa) = 0
t = Vo·sen(alfa) / 9.8
Y la altura máxima será
$$\begin{align}&y\bigg(\frac{V_0·sen\alpha}{ 9.8}\bigg) =\\&\\& -4.9·\bigg(\frac{V_0·sen\alpha}{ 9.8}\bigg) ^2+V_0sen\alpha \bigg(\frac{V_0·sen\alpha}{ 9.8}\bigg) =\\&\\&(V_0·sen\alpha)^2\left(\frac 1{9.8}-\frac{4.9}{9.8^2} \right)=\frac {4.9}{9.8^2}(V_0·sen\alpha)^2=\\&\\&\frac {4.9}{4·4.9^2}(V_0·sen\alpha)^2=\frac {1}{4·4.9}(V_0·sen\alpha)^2\end{align}$$Y esta altura máxima se obtiene a mitad del trayecto, luego la función x en ese momento debe valer y/2
$$\begin{align}&x \bigg(\frac{V_0·sen\alpha}{9.8} \bigg)=Vo·\cos\alpha·\frac{V_0·sen\alpha}{9.8}=\\&\\&\frac{V_0^2·sen\alpha·\cos\alpha}{9.8}\\&\\&como\; 2x(altura\; máxima)=y(altura\; masima)\\&\\&\frac{V_0^2·sen\alpha·\cos\alpha}{4.9}=\frac {1}{4·4.9}(V_0·sen\alpha)^2\\&\\&\cos\alpha=\frac 14sen\alpha\\&\\&tg\alpha=4\\&\\&\alpha=arctg\;4= 75.96375653º=\\&\\&75º57'49.52''\end{align}$$·
3)
Las ecuaciones de posición en el eje Y será
y(t) = -4.9t^2 + Vo·sen(25º)·t
·
A los 6 segundos la altura será 0
0 = -4.9 · 6^2 + Vo·sen(25º)·6
0 = -176.4 + 6·sen(25º)·Vo
Vo=176.4 / (6·sen(25º)) = 176.4 / 2.53570957 = 69.56632654 m/s
·
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuarnos que bien nos lo hemos merecido.
¡Uff Albert! Esto es mucho trabajo, le tendrías que haber dicho que lo mandara en tres preguntas. Saludos. - Valero Angel Serrano Mercadal
Si...así es... para el futuro que sea de a una! - albert buscapolos Ing°