¿Cómo encuentro el limite de la función?

Omar arnaiz!

El límite es respecto deltax, esta es la variable del límite.

Llamemos h=deltax

$$\begin{align}&\Delta x=h\\&\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\frac{0}{0}=\\&\\&\lim_{h \to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2\\&\\&\end{align}$$

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Este límite se corresponde con la definición de la derivada de la función x^3, lo que pasa es que en la definición usan la letra h para que sea más cómodo trabajar.

Ya veo que te lo han hecho con la h, también podría haberse hecho sin cambiarlo

$$\begin{align}&\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}=\\&\\&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^3+3x^2·\Delta x+3x·(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3}{\Delta x}=\\&\\&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3x^2·\Delta x+3x·(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}=\\&\\&\lim_{\Delta x\to 0}\left(3x^2+3x·(\Delta x)+(\Delta x)^2\right)= 3x^2\end{align}$$

Como puedes ver el límite es la derivada de x^3, señal de que se hizo bien.

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Y eso es todo.