Anónimo
Ejemplos de elimicinacion de gauss jordán
Un nutriologo prepara una dieta que consiste en los alimentos A B C y cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 3 ed grasa y 1 unidad de carbohidratos. Por su parte cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína 2 de grasa y dos de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 de grasa y 21 de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada tipo de alimento deben utilizarse?
1 Respuesta
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El método de Gauss-Jordan es el largo, el que no gusta hacer y menos en sitios como este donde tanto cuesta escribir matrices. Mientras que en el método de Gauss se obtiene la matriz triangular superior y se calculan ya las respuestas, en el de Gauss-Jordan se continua con operaciones de filas hasta obtener la matriz diagonal.
Bueno, vamos con el suplicio. Llamando a, b, c a las cantidades de los respectivos elementos tenemos
2a + 3b + 3c = 25
3a + 3b + 2c = 24
4a + b + 2c = 21
La matriz es:
2 3 3 | 25
3 3 2 | 24
4 1 2 | 21
Dividiremos la primera por -2, ¿por qué el signo -? Porque luego será mucho menos lioso sumar que restar. Vamos a aprevechar para en la misma matriz reflejar ya el resultado de sumar a la segunda la primera multiplicada por 3 y sumar a la tercera la primera multiplicada por 4
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 3-9/2 2-9/2 | 24 - 75/2
0 -5 -4 | -29
Hacemos las operaciones de la segunda fila que me pareció excesivo hacerlas en un solo paso
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 -3/2 -5/2 | -27/2
0 -5 -4 | -29
Ahora multiplicamos por (-2/3) la segunda y lo que resulte multiplicado por 5 lo sumamos a la tercera
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 1 5/3 | 9
0 0 -4+25/3| 16
efectúo esa operación que no hice completa
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 1 5/3 | 9
0 0 13/3 | 16
Vamos a dividir la cuarta por 13/3
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 1 5/3 | 9
0 0 1 | 48/13
La tercera multiplicada por (-5/3) se suma a la segunda.
-1 -3/2 -3/2 | -25/2
0 1 0 | 9 + (-5/3)(48/13) = 37/13
0 0 1 | 48/13
La cuarta multiplicada por (3/2) se suma a la primera
-1 -3/2 0 |-25/2 + (3/2)(48/13) = -181/26
0 1 0 | 37/13
0 0 1 | 48/13
Y la segunda por 3/2 se suma a la primera
-1 0 0 | -181/26+(3/2)(37/13)= -35/13
0 1 0 | 37/13
0 0 1 |48/13
Cambiamos el signo de la primera
1 0 0 | 35/13
0 1 0 | 37/13
0 0 1 | 16
Y esas son las onzas, como no son números decimales exactos y tienen un periodo feo se dejan asi
Alimento A = 35/13 onzas
Alimento B = 37/13 onzas
Alimento C = 48/13 onzas
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Vamos a comprobar la respuesta
2a + 3b + 3c = 70/13 + 111/13 + 144/13= 325/13 = 25
3a + 3b + 2c =105/13 + 111/13 + 96/13 = 312/13= 24
4a + b + 2c =140/13 + 37/13+ 96/13 = 273/13 =21
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Luego está bien. Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si ni es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.