Problemas sobre progresión ARITMÉTICA

a)

Entonces supondré por lo que dices que da campanadas desde la 1 hasta 24 cada día. Es que lo normal es que den de 1 a 12 y de 1 a 12 de nuevo. No hay ningún problema en hacerlo de los dos modos. Lo principal es aplicar la fórmula de la suma de progresiones aritméticas, que dice:

Sn = n(a1+an)/2

Es decir, la suma de los n primeros términos es n multiplicado por (el primer término más el ultimo) y todo ello divido por dos

Si las campanadas van de 1 a 24 cada día dará:

S24 = 24(1+24)/2 = 12·25 = 300

Y al cabo la semana serán 7·300 = 2100 campanadas.

Si las campanadas son de 1 a 12 serán

S12 = 12(1+12)/2 = 6·13 = 78

Dos veces al día luego 78·2 = 156

Y al cabo de la semana 7 · 156 = 1092 campanadas

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b)

El término general de una progresión aritmética es

a(i) = b + c·i

Para determinar la sucesión hay que calcular los valores de a y b

a(3) = b + 3c

a(5) = b + 5c

Y por lo que dice el enunciado

a(3)+a(5) = 2b + 8c = 62

Asimismo:

a(4) = b + 4c

a(6) = b + 6c

a(4)+a(6) = 2b + 10c = 82

Luego tenemos este sistema de ecuaciones

2b + 8c = 62

2b + 10c = 82

Restamos la primera a la segunda y queda:

2c = 20

c = 10

Y sustituimos este valor de c en una de las dos ecuaciones para calcular b

2b + 8·10 = 62

2b = 62 - 80 = -18

b = - 9

Y la progresión aritmética es

a(i) = -9 + 10·i

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Resolver la ecuación 1+7+......+z=280 sabiendo que los términos del primer miembro forman una Progresión aritmética.

Como ves he cambiado la incógnita equis por zeta, que el corrector no puede ver las equis sueltas y pone "por" en su lugar. Tampoco puede ver la abreviatura que usabas de progresión aritmética y la cambia por "para". Cuando tu mandaste el problema estaría dormido, pero ahora está muy activo y no dejaba usar esas expresiones.

La fórmula que dijimos antes de la suma de los términos es:

Sn = n(a1+an)/2

Aplicado aquí será:

n(1+z)/2 = 280

Vamos a calcular n, es decir, cuántos términos hay en la sucesión

Si z = 7 serían 2 términos

Si z = 13 serían 3

Si z = 19 serían 4

La fórmula es bastante sencilla, basta que la compruebes

n = 1 + (z-1)/6

Sustituimos este valor de n en la ecuación que teníamos

[1 + (z-1)/6](1+z)/2 = 280

[(6+z-1)/6](1+z) = 2·280

(5+z)(1+z) = 6·2·280

5 + 5z + z + z^2 = 3360

z^2 + 6z - 3355 = 0

z = [-6 +- sqrt(36 + 4·3355)]/2 =

[-6 +- sqrt(13456)]/2 =

(-6 +- 116) /2

z1 = -61

z2 = 55

La respuesta negativa carece de sentido en este problema, luego es la positiva.

z = 55

Lo verificaremos, la sucesión será:

1+7+13+19+25+31+37+43+49+55

que tiene 10 términos y su suma es

S10 = 10(1+55)/2 = 5·56 = 280

Luego la solucion es buena.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. El gusto es mío de volver a contestarte preguntas.