Gauss-Jordan 2x4

Es un sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones dependiendo de varios parámetros. El número de parámetros es 4 menos el número de ecuaciones linealmente independientes.

3x+y+z+w=0
5x-y+z-w=0

Cuando hay dos ecuaciones son independientes si no son proporcionales y estas no lo son porque la proporción en x es 3/5 mientras que en y es -1

Luego el número de parámetros será 4-2 = 2

Para solucionarlo mejor haremos aunque solo sea un cero en la segunda ecuación, le sumaremos la primera y queda

8x + 2z = 0

Si tomamos como parámetro a z tendremos

8x = -2z

x = -z/4

Con esto vamos a la primera ecuación

-z/4 +y + z + w = 0

Aquí tomaremos w como el otro parámetro y queda

y = -3z/4 -w

Luego la solución completa es:

x = -z/4

y = -3z/4 - w

z = z

w = w

---------------------------------------

-z-y+2x-w=-1
2x+y-2z-2w=-2
3x-3w=-3
-x+2y-4z+w=1

Ponemos en orden las incógnitas de la ecuación primera y de paso pondremos primera la cuarta y hacemos la matriz

-1  2 -4  1 |  1
 2 -1 -1 -1 | -1
 2  1 -2 -2 | -2
3 0 0 -3 | -3

La primera fila multiplicada por 2 se sumará a la 2ª y 3ª. Y multiplicada por 3 a la 3ª

-1  2  -4  1 |  1
 0  3  -9  1 |  1
 0  5 -10  0 |  0
0 6 -12 0 | 0 

Y ahora dividiremos la 3ª por 5 y la cuarta por 6. Como quedarán iguales sobará la 4ª

-1  2  -4  1 |  1
 0  3  -9  1 |  1
 0  1  -2  0 |  0
0 0 0 0 | 0 

No es necesario que los ceros estén bajo la diagonal, la tercera ya tiene 2 ceros y no vamos a conseguir otro más, luego dejaremos ya la matriz y resolvemos.

Pondremos como parámetro a z. Entonces la tercera será

y-2z = 0

y = 2z

Vamos a la segunda

3y - 9z + w = 1

6z - 9z + w = 1

w = 1+3z

Y ahora a la primera

-x +2y-4z+w=1

-x + 4z -4z +1+3z = 1

-x = -3z

x = 3z

Luego la solución en función del parámetro z € R es

x = 3z

y = 2z

z = z

w = 1+3z

Y eso es todo.