¿Cómo se resuelve la siguiente integral?

La integral es la siguiente:

  1. Determine la función de costo total, suponiendo que la constante de integración es de 500
  2. De acuerdo a la función anterior, indique el costo de fabricar 100 unidades.

    Como nos dan la derivada del costo, para calcularlo haremos la integral

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Te dejo la respuesta

$$\begin{align}&\int(10 - {100 \over q+10})\ dq = \int 10\ dq- \int {100 \over q+10}\ dq = \\&= 10q - 100 \ln |q+10| + C\end{align}$$

Luego de resolver la integral vi el resto de la pregunta :)

1. C(q) = 100q - 100 ln |q+10| + 500

2. C(100) = 100*100 - 100 ln |100+10| + 500 = 

= 10000 - 100 ln 110 + 500

= 10504.7

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1

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·

Si nos dan la derivada del costo, para conocer el costo deberemos integrar la derivada.

Matemáticamente esto es la resolución de una sencilla ecuación diferencial y se escribiría así, pero tu quédate simplemente con que hay que hacer la integral.

$$\begin{align}&\frac{dC}{dq} = 10-\frac{100}{q+10}\\&\\&dC= \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq\\&\\&\int dC=\int  \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq\\&\\&C = \int  \left( 10-\frac{100}{q+10} \right)dq+k\\&\\&\text{la k nos dicen que debe valer 500}\\&\\&C(q)=10q-100\,ln|q+10| + 500\\&\\&\text{Y el costo de producir 100 será}\\&\\&C(100) = 10·100-100\,ln|100+10|+500=\\&\\&1000+500-100\,ln(110) =\\&\\&1500 - 100\,ln(110) \approx 1029.951963420758\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

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