Su valioso apoyo siguiente ejercicio a solucionar

$$\begin{align}& \end{align}$$

Voy a empezar por el punto b) que es la integración de ambas funciones dadas respecto a q

$$\begin{align}&C(q) = \int C'(q) dx = \int (15.7 - 0.002q) \,dq = 15.7q - 0.002{q^2\over2}+C = \\&15.7q - 0.001q^2+C\\&Si \; el \; costo \; fijo \; es \; 100, \; luego:\\&C(q) = -0.001q^2+15.7q+100\\&\\&I(q) = \int I'(q) dx = \int (22 - 0.004q) \,dq = 22q - 0.004{q^2\over2}+C = \\&22q - 0.002q^2+C\\&Si \; la \; constante \; de \; integración \; es \; 0, \; luego:\\&I(q) = -0.002q^2+22q\\&\end{align}$$

Para el punto a), voy a considerar que las utilidades son los ingresos menos los costos, expresado en forma de función, sería U(q) = I(q) - C(q)

U(q) = -0.002q^2+22q - (0.001q^2+15.7q+100)

U(q) = -0.001q^2 + 6.3q - 100

U(500) = -0.001(500)^2 + 6.3*(500) - 100 = 2800

U(600) = -0.001(600)^2 + 6.3*(600) - 100 = 3260

c) Las cantidades de equilibrio es cuando I(q) = C(q), que es lo mismo que U(q)=0

luego

U(q)= 0= -0.001q^2 + 6.3q - 100

usando la cuadrática, tenemos que

q = 15.9 ó q = 6284.1

Carlitos Way!

·

a) Imagino que lo que quieren preguntar es el incremento de la utilidad cuando las

Ventas se incrementan de 500 a 600 unidades.

Primero calculamos el ingreso y los costos integrando. Las constantes de integración no son importantes ya que como vamos a calcular un incremento se simplificarían en la resta.

$$\begin{align}&C(q) = \int (15.7-0.002q)dq=15.7q-0.001q^2\\&\\&I(q) = \int (22-0.004q)dq = 22q - 0.002q^2\\&\\&U(q) = 22q - 0.002q^2 - (15.7q-0.001q^2)\\&\\&U(q) = 6.3q -0.001q^2\\&\\&Incremento \;U=U(600)-U(500)=\\&\\&6.3·600 - 0.001·600^2-6.3·500+0.001·500^2=\\&\\&6.3·100-0.001·(360000-250000)=\\&\\&630-0.001(110000) =\\&\\&630-110 = 520\end{align}$$

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b)

Si el costo fijo es 100 la función de costos es

C(q) = 15.7q - 0.001q^2 + 100

y si la constante de los ingresos es cero será la fución antes calculada

I(q) =  22q - 0.002q^2

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c)

La cantidades de equilibrio serán las que igualen las funciones costo e ingreso.

15.7q - 0.001q^2 + 100 = 22q - 0.002q^2

0.001q^2 - 6.3q + 100 = 0

$$\begin{align}&q=\frac{6.3\pm \sqrt{6.3^2-4·0.001·100}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm \sqrt{39.69-0.4}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm \sqrt{39.29}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm 6.024118192731613}{0.002}\\&\\&q_1=137.9409036341932\\&q_2=6162.059096365807\\&\end{align}$$

Y esas son las dos cantidades de equilibrio.

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Y eso es todo.