Cuales son las respuestas del siguiente problema de calculo integral ?
Se pretende invertir (millones de pesos) en una empresa transportista y nos proporcionan dos opciones:
Plan 1: Éste ofrece generar utilidades a razón de f(x) = 20 + x²
Plan 2: Éste ofrece generar utilidades a razón de g(x) = 180 + 4.5x
Por favor trazar la gráfica !
En base a la gráfica se deben responder las sig. Preguntas:
1). Si sólo se quiere invertir a diez años ¿qué plan será más rentable?
2) ¿Qué plan se recomienda a 20 años y por qué?
Utilizando el cálculo integral y calculando el área bajo la curva PASO A PASO:
3). ¿Qué utilidad obtendrá al invertir en ambos planes durante los primeros quince años (de 0 a 15 años)?
1 Respuesta
Primero te dejo la imagen para poder entender que pide en cada caso
Como se puede ver, los primero años conviene utilizar la expresión g, pero luego es mejor la ecuación f. De la gráfica daría la sensación que el punto en que ambas expresiones son iguales es alrededor de 15 años. Si igualás ambas funciones y despejás el valor encontrarás que este punto es en realidad 15.098
Ahora sí, yendo a las preguntas veamos
1. Viendo la gráfica es claro ver que a 10 años conviene utilizar la expresión g(x)
2. A 20 años ya no es tan claro pues lo que mejora la función f entre "15" y 20 años puede llegar a cubrir lo que pierde al principio. Para estar seguros de cual es la mejor situación hay que integrar ambas funciones entre 0 y 20 y evaluar cual es el valor mayor.
$$\begin{align}&F = \int_{0}^{20} f(x) \, dx = \int_{0}^{20} 20+x^2 \, dx \rightarrow \\&20x + \frac{x^3}{3}\Big ]_{0}^{20} = (20*20+\frac{20^3}{3})-(20*0+\frac{0^3}{3})= 3066.67\\&\,\\&G = \int_{0}^{20} g(x) \, dx = \int_{0}^{20} 180+4.5x \, dx \rightarrow \\&180x + \frac{4.5x^2}{2}\Big ]_{0}^{20} = (180*20+\frac{4.5*20^2}{2})-(180*0+\frac{4.5*0^2}{2})= 4500\end{align}$$Por lo que, efectivamente, conviene la opción g(x)
3. Es el mismo ejercicio del punto 2, pero integrando entre 0 y 15.
saludos Gustavo
para 3).¿Qué utilidad obtendrá al invertir en ambos planes durante los primeros quince años (de 0 a 15 años)?
supongo se tiene que hacer lo siguiente no es verdad?
$$\begin{align}&\int_0^{15}20+x^2dx+\int_0^{15}180+4.5xdx\end{align}$$
y para calcular el área de la curva seria ??
$$\begin{align}&\int_0^{15}x^2-4.5x-160\end{align}$$
Respecto al punto 3. te diría que está bien que calcules ambas integrales pero por separado, ya que la idea es utilizar una inversión o la otra (pero si integrás ambas sumando, estás considerando que invertís en las 2 iniciativas, la idea es calcular ambas por separadas y ver cual tiene un monto mayor).
Respecto al área bajo la curva, depende de que curva estemos hablando. Si ves entre 0 y 15.098 la función que es mayor es g(x), luego, deberías calcular g(x) - f(x) entre 0 y 15.098 (acá calculo que no es tan grave que lo evalúes entre 0 y 15).
g(x)-f(x) = 180+4.5x - (20+x^2) = 160 + 4.5x-x^2