Hallar la ecuación de la curva

Me gustaría saber si puedo hallar la curva que pasa por los puntos de coordenadas, por ejemplo ( 0, 4.5), (1, 4.5), (2, 4.5), (3, 4), (4,3), (5,2) . Me gustaría saber cómo se halla las curvas para después hallar el área con integrales.

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Con los datos que me das es complejo contestarte.
En principio pueden pasar infinitas curvas por esos puntos, tantas como dibujos puedas hacer el el plano que pasen por ellas, otra cosa es que me digas que es una función polinómica de cierto grado, entonces tendríamos un sistema de ecuaciones.
Pero creo que en este caso quieres una función compuesta, si te das cuenta al dibujar los puntos los tres primeros están alineados y los tres últimos también,
la primera recta es una recta horizontal, con la segunda coordenada siempre 4.5 por lo que su ecuación es y=4,5
La segunda recta es afín y=ax+b pasa por los puntos  (3, 4), (4,3), (5,2),
por lo que su pendiente es -1=3-4=2-3, la ecuación sera y=-x+b  para que pase por (3,4)
4=-3+b  --> b= 7    --> la ecuación es y=-x+7
El punto de corte de las dos rectas es 
y=4,5
y=-x+7
4,5=-x+7  --> x=2,5
por lo que la ecuación de la función es:
         | 4,5        para   x<=2,5
f(x)=|
         | -x+7      para x>2,5
El segundo problema está en los limites de integración que quieres utilizar ya que podría ser entre x=0 y x=5
(notación  integral entre a y b lo pondré como INT[a,b])
INT[0,5]f(x)dx=INT[0,2.5]4.5 dx + INT[2.5,5](-x+7)dx = 4.5x en[0,2.5] + (-x^2/2+7x) en [2.5,5] = 11,25 + 8.125 =19,375 
También puede tomar la región delimitada por las rectas en el primer cuadrante, para ello calculas el corte de la segunda recta con el eje horizontal
0=-x+7  --> x=7.
Por lo que el área es la integral entre 0 y 7
INT[0,7]f(x)dx=INT[0,2.5]4.5 dx + INT[2.5,7](-x+7)dx = 4.5x en[0,2.5] + (-x^2/2+7x) en [2.5,7] = 11,25 + 10.125 =21.375
Si no es eso lo que necesitabas, dame más datos para poder hacerlo.
Bueno y usted me habla de rectas, pero yo lo trazé como una curva. Quizás y=ax+b, no me valga. ¿Es así?
Gracias.
Saludos.
"Entonces por lo que vi, para hallar la pendiente tengo que hacer (yn+1 - yn)"
Para que lo pueda considerar recta tiene que suceder que
(yn+1-yn)/(xn+1-nx) sea constante.
Si no fueran iguales lo que nos diría es que no es una recta, tendríamos que buscar curvas, pero estaríamos en el problema que le plantee al principio.
"Bueno y usted me habla de rectas, pero yo lo trazé como una curva. Quizás y=ax+b, no me valga. Es así?"
Una curva como lo entendemos coloquialmente no puede ser, ya que contiene dos segmentos de recta. Pero podríamos buscar una curva, en forma de serpiente que pase por los puntos tal vez un polinomio de grado 6, pero eso es más complejo.
Ok, bueno ya me dí cuenta que es verdad que sale una constante, pero bueno es que sólo lo hice para 3 puntos y no es complicado que me salga una recta.
Mí interés es si yo quisiera diseñar éso; unas curvas en forma de serpiente que atraviesen los puntos...
¿Me dijo que con un polinomio de grado 6? Pues si no es muy largo me encantaría que me explicara algo; si tiene tiempo claro.
Y muchas gracias.
Yo conozco ya simpson para hallar áreas con coordenadas, pero por ejemplo si tengo una figura que es una elipse; sí me gustaría sacar la función de ésa curva. Quizás me esté complicando bastante... pero me gustaría aprenderlo.
Gracias.
El problema esta en reconocer el tipo de curva que buscamos, cosa que no tiene una lógica clara, debe ser habilidad (intuición en muchos casos) de reconocer un tipo de curva solo conociendo unos cuantos de sus puntos. Cada problema concreto nos determinará que curva buscar.
Pero ten siempre en cuenta que cada curva que encuentres te dará un área diferente.
En este caso le hablo de un polinomio de grado 6 (se puede con uno de grado 5, uno menos que el número de puntos que tengas) por que tenemos 6 puntos, pero dependerá de el número de puntos, puede que lo consiguiéramos con uno de grado menor.
P(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
P(0)= 4,5  --> f=4,5
P(1)=4,5 --> a+b+c+d+e+f=4,5
P(2)=4,5   -->a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=4,5
P(3)=4   -->a3^5+b3^4+c3^3+d3^2+e3+f=4
P(4)=3   -->a4^5+b4^4+c4^3+d4^2+e4+f=3
P(5)=2   -->a5^5+b5^4+c5^3+d5^2+e5+f=2
Con lo que tienes un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas que tendrías que solucionar.
Siento no poder darte más información, pero sin más datos es difícil.
Muchas gracias, intentaré hacer éste sistema de ecuaciones y a ver si me sale algo coherente.
Muchas gracias por el tiempo.
Hasta la próxima...

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