Area de un solido con integral doble
Calcular el volumen del solido contenido en el primer octante y acotado por las graficas de las ec:
$$\begin{align}&z=4-x^2\\&x+y=2\\&x=0\\&y=0\\&z=0\end{align}$$
1 Respuesta
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El volumen es el sumatorio del producto de los valores de la función por el área de cuadraditos muy pequeños en la base. Eso es una integral doble de la función entre los límites adecuados para las variables x y y.
Vamos a ver cuales son estos límites:
x+y<=2
x>=0
y>=0
podemos tomar x entre 0 y 2
entonces 0 <= y <= 2-x
Y aunque el volumen es una integral triple, cuando uno de los límites es el plano z=0 se puede expresar directamente como una doble con la función z como integrando.
En resumen, la integral es esta
$$\begin{align}&\int_0^2\int_0^{2-x}(4-x^2)dydx=\\&\\&\int_0^2\left[(4-x^2)y\right]_0^{2-x}dx=\\&\\&\int_0^2 (4-x^2)(2-x-0)dx=\\&\\&\int_0^2(8-4x-2x^2+x^3)dx=\\&\\&\left[8x -2x^2-\frac{2}{3}x^3+\frac 14x^4\right]_0^2=\\&\\&16 - 8 - \frac{16}3+4=\\&\\&12-\frac{16}{3}= \frac {20}3\end{align}$$Y eso es todo.
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