Encuentra todas las parejas (x,y) de enteros no negativos, tales que x! + 24 = y al cuadrado

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(1,5) lo cumple ya que

1! + 24 = 25 = 5^2

Con x=2 no se cumple, 2+24 = 26 no es cuadrado

Con x=3 tampoco 6+24 = 30 no es cuadrado

Con x=4 tampoco 24+24 no es cuadrado

A partir del 5 todos los factoriales son múltiplos de 24 luego

x! + 24 = 24(x!+1) = y^2

Para que 24(x!+1) sea cuadrado debe cumplirse

x!+1 debe ser multiplo de 6

ya que 24 = 2^3 · 3

Y para completar el cuadrado se necesita que (x!+1) tenga al menos un factor primo 2 y otro 3, por lo tanto ser múltiplo de 6

Pero a partir de 3! Todos los factoriales son múltiplos de 6, luego

x! + 1 = 6k+1

Y eso nunca es múltiplo de 6.

Por lo tanto no se puede cumplir la condición exigida, y por lo tanto la única pareja que existe es (1,5)

·

Y eso es todo.