Calclo diferencial y sus aplicaciones, análisis marginal

Usted ha determinado que el comportamiento de sus utilidades, en función del precio de su producto, está dado por la expresión;

$$\begin{align}&U(p)=400(15-p)(p-2)\end{align}$$

donde la utilidad está dada en cientos de pesos y el precio está limitado por el intervalo

$$\begin{align}&5≤p≤15\end{align}$$

. Mediante derivación, determina el precio al que la utilidad es máxima, y calcule ese valor óptimo.

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S e me hace un poco raro que la expresión tenga forma de producto en lugar de sumandos, pero eso es lo que pone. La asalta a uno la duda si efectuar primero el producto y derivar después o derivar directamente, voyu a hacerlo de esda segujnda forma.

Ya sabes que para calcular los máximos o mínimos hay que derivar la función e igualar a cero

U'(p) = 400(-p+2+15-p) = 400(-2p+17) = 0

-2p + 17 = 0

2p = 17

p = 17/2 = 8.5

Comprobamos que p está en el intervalo [5, 15] luego sirve.

Y vamos a hacer también la comprobación de que es máximo y no es mínimo, para ello calculamos la derivada segunda y el valor en p debe ser negativo

U''(p) = -800

Es negativa para cualquier valor liuego es un máximo.

Luego el precio que maximiza la utilidad es p=8.5

Y el valor óptimo es

U(8.5) = 400(15 - 8.5)(8.5 - 2) = 400 · 6.5 · 6.5 = 16900

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Y eso es todo.

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