¿Que tengo que hacer para obtener El ingreso marginal cuando produce 30,000 piezas?

Dentro del caso de una empresa, el ingreso tiene el comportamiento dado por la expresión Iq=-1/3q^2+60q , donde es la cantidad de producto vendido, en miles de unidades, y el ingreso está dado en pesos. Por otro lado, se sabe que el costo unitario de fabricar cada unidad de producto es de $10, y sus costos fijos ascienden a $600. Por lo tanto:

  1. Determina lo siguientes cálculos:
  1. El ingreso marginal cuando produce 30,000 piezas
  2. El costo marginal.
  3. La función de utilidad
  4. La cantidad que debe vender para tener el Ingreso Máximo.
  5. La cantidad que fabricar y vender para tener la Utilidad Máxima
  6. Las cantidades de equilibrio
  7. La función de Utilidad promedio

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1) El ingreso marginal es la derivada del ingreso respecto de q

$$\begin{align}&I'(q)=-\frac 23q+60\\&\\&\text{como q se mide en miles de unidades}\\&\text{para 30000 unidades es q=30}\\&\\&I'(30) = 23·30 + 60 = 690+60 =750\end{align}$$

Luego la respuesta es $750

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2) Ese costo debe ser por cada 1000 unidades, si no se vendería más barato que el costo y la empresa sería una ruina

El costo será

C(q) = 10q

Donde q son miles de unidades

Y el costo márginal es lka derivada del costo

C'(q) = 10

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3) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo total

U(q) = -(1/3)q^2 + 60q - 10q - 600

U(q) = -(1/3)q^2 + 50q - 600

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4) El ingreso máximo se obtiene cuando el ingreso marginal es cero.

$$\begin{align}&I_{mg}(q) = -\frac 23 q +60 =0\\&\\&-\frac 23q = -60\\&\\&q =\frac{3·60}{2}=90\end{align}$$

Luego el ingreso máximo es cuando se fabrican 90q que son 90000 unidades.

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5) La utilidad máxima se obtiene cuando la derivada de la utilidad es 0

$$\begin{align}&U(q) =- \frac 13q^2 + 50q - 600\\&\\&U'(q)=-\frac 23q+50=0\\&\\&-\frac 23q=-50\\&\\&q = \frac{3·50}{2}= 75\\&\end{align}$$

Luego la utilidad máxima es para q=75 que son 75000 unidades

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6) La cantidad de equilibrio es cuando los ingresos son igal a los gastos. O dicho de otra forma cuando la utilidad es 0

$$\begin{align}& -\frac 13q^2 + 50q - 600=0\\&\\&\text{multiplicamos por -3}\\&\\&q^2 -150q +1800=0\\&\\&\text{resolvemos la ecuación}\\&\\&q=\frac{150\pm \sqrt{150^2-4·1800}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{22500-7200}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{15300}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm \sqrt{15300}}{2}=\\&\\&\frac{150\pm 123,69317}{2}=\\&\\&13.153416\;y\;136,84658\end{align}$$

Esas son las dos cantidades de equjilibrio

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7) Y la función utilidad promedio es simplemente la función utilidad dividida entre q

$$\begin{align}&U(q) = - \frac 13q^2 + 50q - 600\\&\\&UP(q)= \frac{- \frac 13q^2 + 50q - 600}q=\\&\\&- \frac 13q + 50 - \frac{600}q\end{align}$$

¡Qué fallo más tonto en el primer apartado!

La solución es

I'(30) = -(2/3)·30 + 60 = -60/3 + 60 = -20+60 = 40

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