Integral de g(x)=sqrt(4-x^2) por cambio de variable.

Clara Amezcua!

Es una integral irracional que se hace con un cambio de variable trigonométrico

x=2sent

Al operar el cambio acaba quedando la integral del cos^2x que se puede hacer por partes o con una fórmula trigonométrica no directa.

Vamos allá:

$$\begin{align}&\int \sqrt {4-x^2} dx=\\&x=2sent\\&dx=2costdt\\&\\&=\int \sqrt{4-4sen^2t}  ·2costdt=\\&\\&=\int \sqrt{4(1-sen^2t)} ·2costdt=\\&recuerda \ sen^2t+\cos^2t=1 \\&\\&=\int 2 \sqrt{\cos^2t} ·dt= 2 \int cost·2cos·tdt=\\&\\&=4 \int \cos^2t·dt= 4I\\&\\&DE \ Trigonometria\\&1=sen^2t+\cos^2t\\&cos2t=\cos^2t-sen^2t \ (fórmulas \ del \ angulo \ doble\\&\\&sumando \ miembro \ a \ miembro\\&1+cos2t=2cos^2t\\&\cos^2t=\frac{1}{2}(1+cos2t)\\&\\&Luego\\&4I=4 [\int \frac{1}{2}(1+cos2t)dt]=2t+sen2t=**\\&Para \ deshacer \ el\ cambio\\&x=2sent \Rightarrow sent=\frac{x}{2} \Rightarrow t=arcsen \frac{x}{2}\\&y \ además:\\&sen2t=2sentcost \  (Angulo Doble) =*\\&cost= \sqrt{1-sen^2t}=\sqrt{1- \frac{x^2}{4}}= \sqrt{ \frac{4-x^2}{4}}=\frac {1}{2} \sqrt{4-x^2}\\&*=x \frac {1}{2} \sqrt{4-x^2}\\&\\&**=2arcsen \frac{x}{2}+ \frac {x}{2} \sqrt{4-x^2}+C\\&\\&\end{align}$$

Espero que te sirva 

Urte Berri

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