Ayuda con calculo de integral
Hola, ¿me podrían ayudar con la siguiente integral?
No logro ver que hacer. Saludos
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
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Gera Gorgoretti!
Se hace con un cambio de variable y después descomponiendo la fracción en fracciones simples:
$$\begin{align}&\ sen6x=t\\ &6cos6x·dx=dt\\ &\\ &\frac{1}{6} \int \frac{(t^2-8)dt}{(4+t^2)t }\\ &Descomposición \ en \ fracciones \ simples:\\ &\\ &\frac{(t^2-8)}{(4+t^2)t }=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{4+t^2}\\ &\\ &t^2-8=A(4+t^2)+t(Bt+C)\\ &A=-2\\ &B=3\\ &C=0\\ &\\ &\int \frac{(t^2-8)dt}{(4+t^2)t }= \int \frac{-2}{t}dt+ \int \frac{3t}{4+t^2}dt=\\ &\\ &-2ln|t|+\frac{3}{2}ln|4+t^2|=\\ &\\ &ln \frac{\sqrt{(4+t^2)^3}}{t^2}=\\ &\\ &ln \frac{\sqrt{(4+sen^2(6x))^3}}{sen^2(6x)}\\ &\\ &\\ &I= \frac{1}{6} ln \frac{\sqrt{(4+sen^2(6x))^3}}{sen^2(6x)}+C\\ &\\ &\end{align}$$
Che , como sabes que B vale 3 y C vale 0
Y una cosita más si no es mucho problema, como era la propiedad de ln, en esa parte que haces -2ln(t) +...
Y te termina quedando una raíz
Ya medí cuenta, era subiendo el -2 y el 3/2 como exponentes
Lo que todavía no se es lo de B y C, me queda 3-B = C, ¿Osea qué puedo darle valores que quiera a esas constantes?.
Operas e igualas los coeficientes del mismo grado
Para hacer esta integral te tienen que haber enseñado a descomponer en fracciones simples:
$$\begin{align}&\ \frac{t^2-8}{(4+t^2)t}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{4+t^2}\\ &\\ &\frac{t^2-8}{(4+t^2)t}=\frac{A(4+t^2)+(Bt+C)t}{(4+t^2)t}\\ &\\ &t^2-8=4A+At^2+Bt^2+Ct\\ &\\ &t^2-8=t^2(A+B)+Ct+4A\\ &\Rightarrow\\ &coeficientes \ t^2\\ &1=A+B\\ &coeficientes \ de \ t\\ &0=C\\ &\\ &términos \ independientes\\ &-8=4A \Rightarrow A=-2 \Rightarrow B=1-A=1-(-2)=3\\ &\end{align}$$
