Geometría Analítica Hipérbola (deducir ecuación)
Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:
Centro en (1, - 3), un foco en (1, - 6) y un vértice en (1, -5).
Por favor me pueden explicar paso a paso este ejercicio, la verdad no lo comprendo muy bien.
1 Respuesta
1) Si graficas el centro, foco y vértice te darás cuenta que se trata de una hipérbola con eje real vertical, es decir que "abre" hacia arriba y hacia abajo, y su ecuación canónica es de la forma {[(y-k)^2]/a^2} - {[(x-h)^2]/b^2}=1
2) Para la ecuación canónica anterior es necesario determinar los valores de las constantes h, k, a y b.
3) Dado que las coordenadas genéricas del centro son c(h, k) y el centro dado es c(1,-3) de allí se deduce que h=1 y k=-3.
4) Las coordenadas genericas del vertice son v(h,-a+k) y el vertice dado es v(1,-5), luego de alli se deduce que -a+k=-5 pero conocido k=-3 se sustituye para obtener -a-3=-5 donde al despejar se tiene que a=2.
5) Las coordenadas genericas del foco son f(h,-c+k) y el foco dado es f(1,-6), de donde se deduce que -c+k=-6 en esta ultima igualdad se sustituye k=-3 para obtener -c-3=-6 luego al despejar se tiene que c=3
6) nos falta calcular el valor de "b" para ellos utilizaremos el teorema de Pitagora el cual para la hiperbola es c^2=a^2+b^2 donde b^2=c^2-a^2 esto es b^2=3^2-2^2=9-4=5, luego b^2=5
7) Conocidos h=1; k=-3; a=2 y b^2=5 se sustituyen en la ecuacion canonica generica para obtener la ecuacion canonica particular de la hiperbola buscada, esta es {[(y+3)^2]/2^2} - {[(x-1)^2]/5}=1 donde {[(y+3)^2]/4} - {[(x-1)^2]/5}=1 se puede presentar como una respuesta al ejercicio pues solo te piden una ecuacion de la hiperbola sin especificar cual, sin embargo si desarrollas cuadrados y realizas todas las reducciones necesarias por algebra elemental, podras llegar a la ecuacion general la cual es 5y^2-4x^2+8x-30y+21=0
Observaciones:
a) Es simple aprender las formas genéricas de los elementos de una hipérbola mediante asociación o reglas mnemotécnicas.
b) Te aconsejo que si de verdad quieres APRENDER no te conformes con copiar, pegar, imprimir, entregar y"aprobar". Eso no te dejara nada excepto un parchito en un ojo, un garfio en una mano, un loro en un hombro y una patica de palo (sin animo de ofender). Por lo que de verdad INTERÉSATE en aprender con seria responsabilidad. Dios te bendiga.
