Dada las siguientes parabolas

Toda la información sobre una parábola se obtiene de la ecuación canónica, luego vamos a ponerla de ese modo mediante la técnica llamada completar cuadrados.

y^2 - 4y - 6x + 13 = 0

La y es la variable que interviene en el cuadrado, mediante un binomio adecuado debemos conseguir los términos donde está la y

Si tomamos

(y-2)^2 = y^2 - 4y + 4

Tendremos los dos términos de la y. Como habremos añadido un 4 se lo restamos inmediatamente para no olvidarnos. Y la ecuación queda

(y-2)^2 - 4 -6x +13 = 0

(y-2)^2 = 6x -9

Y ahora hay que dejar lo de la derecha como 2p(x-a)

(y-2)^2 = 6(x - 9/6)

(y-2)^2 = 2·3(x - 3/2)

Lo de ponerlo como 2px es por usar la notación clásica, pero dejándolo como kx se extrae la información igual o mejor.

La ecuación tiene la forma

(y-b)^2 = 2p(x-a) donde (a,b) es el vértice, luego

Vértice = (3/2, 2)

El foco estará en el punto p/2 en el eje longitudinal respecto del vértice.

p/2=3/2

Como la variable al cuadrado es la y el eje es paralelo al eje X,

foco = (3/2, 2) + (3/2, 0) = (3,2)

La longitud del lado recto es 2p = 6

La directriz esta situada a -p/2 respecto al vértice. Luego pasa por el punto

(3/2, 2) - (-3/2, 0) = (0,2)

y es perpendicular al eje longitudinal que es el X, luego la directriz es x=0

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3x^2 - 9x - 5y - 2 = 0

Dividimos por 3 para que el término al cuadrado tenga coeficiente 1

x^2 - 3x - (5/3)y - 2/3 = 0

Completamos cuadrados

(x - 3/2)^2 - 9/4 - (5/3)y - 2/3 = 0

(x-3/2)^2 - (5/3)y - (27+8)/12

(x-3/2)^2 = (5/3)y + 35/12

Adecuamos el lado derecho a la forma de la ecuación canónica

(x-3/2)^2 = (5/3) [y + (35/12) / (5/3)]

(x-3/2)^2 = (5/3) [y + (35·3 / 12·5)]

(x-3/2)^2 = 2(5/6) (y +105/60)

(x-3/2)^2 = 2(5/6) (y + 7/4)

El eje longitudinal es paralelo al eje Y

El vértice es (3/2, 7/4)

El foco está a p/2 del vértice en vertical

Foco = (3/2, 7/4) + (0, 5/12) = (3/2, (21+5)/12) = (3/2, 13/6)

Lado recto = 2p = 5/3

La directriz pasa a -p/2 del vértice en vertical

(3/2, 7/4) - (0, 5/12) = (3/2, (21-5)/12) = (3/2, 4/3)

Y la recta horizontal que pasa por el es x = 4/3

Y eso es todo.