Calcular área del 1er Cuadrante
Maestro Valero, nuevamente solicitando su ayuda para el cálculo del área del 1er cuadrante entre las curvas
y^2=2x
2x+y=20
y=0
Muchas gracias por su tiempo
Lara
2 Respuestas
Lara Aleenah:
En el primer cuadrante hay dos recintos, el rallado es el en que solamente intervienen las dos curvas.
Primero calcularemos el punto de corte, resolviendo el sistema:
$$\begin{align}&y^2=2x\\ &y=20-2x\\ &\\ &\\ &(20-2x)^2=2x\\ &Operando \ queda\\ &2x^2-41x+200=0\\ &x=8 \ x=12,5\\ &\\ &Area=\int_0^8(20-2x-\sqrt{2x})dx=\\ &[20x-x^2- \frac{2}{3} \sqrt{2x^3}]_0^8= \frac{224}{3} \ u^2 \end{align}$$
Si te pidieran el área del recinto inferior, el que forman las dos curvas y el ejeOX:
Podrías hacer el área del triangulo que determina la recta verde con los dos ejes,
De base 10 y altura 20, y restarle el área del recinto superior:
$$\begin{align}&100 - \frac{224}{3}= \frac{76}{3} u^2\end{align}$$
¡Gracias! Maestro Valero Un saludo.
¡Gracias! Maestro Lucas
Evidentemente es el recinto inferior, se me paso la recta y=0 (eje OX)
Lara Aleenah!
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Dibujemos las gráficas. Hay programas que se les puede meter directamente la funciones implícitas, si no se tansforman en explícitas
Y esta es la región comprendida entre las tres curvas que dice el enunciado, la he dividido en dos partes para facilitar la integración.
Es necesario saber el punto de intersección de la la roja y la azúl, aunque se ve lo calculamos
y^2 = 2x
2x+y=20
y^2 + y - 20 = 0
$$\begin{align}&y= \frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{2}= 4 \;y\;-5\end{align}$$El de la parte superior es 4, luego
4^2 = 2x
x=8
Y también es neceasia la interrsección de la azul con la verde
2x+y=20
y=0
2x=20
x=10
La parte amarilla es obvio que se tiene que resolver con integral, pero la marrón es un triángulo, no vamos a malgastar un integral, su área es:
area marrón = 4·2 / 2 = 4
$$\begin{align}&\text{area amarilla}=\int_0^8 \sqrt{2x}\;dx=\\ &\\ &\sqrt 2\int_0^8x^{\frac 12} dx = \\ &\\ &\sqrt 2·\frac 23 \left[ x^{\frac 32} \right]_0^8=\\ &\\ &\sqrt 2·\frac 23 ·\sqrt{512}=\\ &\\ &\sqrt 2 ·\frac 23·16 \sqrt 2=\frac {64}{3}\end{align}$$Luego el area total es
A=4 + 64/3 = 76/3
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Y eso es todo.