Determinar el valor de k para que la recta 4x+5y+k=0 forme con los ejes coordenados un tríangulo

Sabemos que si ponemos la recta en forma de ecuación simétrica tendremos como denominadores los cortes con los ejes, es decir, la base y altura del triángulo. Vamos a hacerlo

4x+5y+k = 0

4x + 5y = -k

-4x/k -5y/k = 1

Y esta es la parte más complicada, en la que el numerador puede ponerse como denominador del denominador. Pero puedes comprobar que está bien hecho efectuando la división de fracciones 1/(a/b) = (1·b)/(1·a) = b/a

x/(-k/4) + y/(-k/5) = 1

Entonces -k/4 y -k/5 son la base y la altura, si los multiplicamos y dividimos por dos tendremos el área que nos dan del triangulo

(-k/4)(-k/5)/2 = 2 1/2

[(k^2)/20]/ 2 = 5/2

Multiplicando por 2 en ambos lados

(k^2)/20 = 5

k^2 = 100

k = +-sqrt100) = +-10

Luego hay dos soluciones:

k = 10

k = -10

Es lo lógico, para una misma pendiente hay rectas equidistantes del origen que forman el mismo triángulo en cuadrantes opuestos. Comprobemos la solución.

4x+5y+10 = 0

Para x=0 ==> 5y +10 = 0 ==> 5y = -10 ==> y = -2

Para y = 0 ==> 4x + 10 = 0 ==> 4x = -10 ==> x = -10/4 = -5/2

Y el área es (2·5/2)/2 = (10/2)/2 = 10/4 = 5/2 = 2 1/2

4x+5y-10 = 0

Es todo igual salvo que dará 2 y 5/2 como cortes y el área es igual

Luego ambas rectas cumplen lo pedido.

Y eso es todo.