Resolver los siguientes ejercicios sobre funciones dominio y rango
1)función f(x)=(x+5)/√(1-√(x-2)) Halle el Dominio.
2)De la siguiente función g(x)=x/(x^(2 )+x+4)hallar el Rango2 Respuestas
Rocío Muñoz!
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El ejercicio 1 ya lo contesté que lo mandaste en otra pregunta:
http://www.todoexpertos.com/preguntas/5hgtmj4w34knt7mi/de-la-siguiente-funcion-f-x-x-5-1-x-2-halle-el-dominio
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2) El rango es el dominio de la función inversa. Vamos a calcularla
$$\begin{align}&y = \frac{x}{x^2+x+4}\\ &\\ &yx^2 +yx + 4y = x\\ &\\ &yx^2 +yx -x +4y=0\\ &\\ &yx^2 + (y-1)x+4y= 0\\ &\\ &x=\frac{-y+1\pm \sqrt{(y-1)^2-16y^2}}{2y}\\ &\\ &\text{se debe cumplir }\\ &\\ &a)\quad y\neq0\\ &\\ &b) (y-1)^2 - 16y^2 \ge 0\\ &\\ &y^2-2y+1-16y^2\ge 0\\ &\\ &-15y^2-2y+1\ge 0\\ &\\ &15y^2 + 2y -1\le0\\ &\\ &\text{será menor que 0 entres las raíces}\\ &\\ &y=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{30}=-\frac 13\; y\; \frac 15\\ &\\ &\text{Luego el rango es}\\ &\\ &Rango \,f=\left[-\frac 13,\;0 \right) \cup \left( 0,\;\frac{1}{5} \right]\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
1) Las raíces no pueden ser negativas (lo de dentro). x-2>=0 sii (si y sólo si) x >=2. Luego, tiene que cumplirse 1-raiz(x-2)>=0 sii 1>=raiz(x-2) sii (elevando al cuadrado) 1 >= x-2 sii x <=3. Finalmente, el cociente debe tener divisor distinto de 0. 1-raiz(x-2)=0 sii 1=x-2 sii x=3. Conjuntando los resultados, el dominio es {x | x>=2} intersección {x | x<=3} = {x | 2 <=x <=3}= [2,3].
2) El rango de g(x) es el conjunto de todos los y tales que existe x tal que y=g(x). Luego y=x/(x²+x+4). Primero debemos descartar todos los y para x fuera del dominio: x^2+x+4=0. x=(-1+raiz(1-16))/2. Las soluciones son complejas, y por lo tanto, no afecta al rango. Ahora, x^2+x+4 es una parábola y tiene rango R (el conjunto de los números reales). También la inversa de una parábola tiene rango R. Por lo tanto, el rabno de g es R.