Demostración que es Lebesgue integrable

Considere la sucesión de funciones:

$$\begin{align}&{f_n }\end{align}$$
$$\begin{align}&f_n (x)=\end{align}$$
$$\begin{align}&1/√x,&xϵ (1/n,1],   n≥2\end{align}$$

Y:

$$\begin{align}&0,&xϵ [0,1/n]\end{align}$$

Demuestre que es Lebesgue integrable y calcule la integral:

$$\begin{align}&∫_[0,1]〖f_n (dμ)〗\end{align}$$

Tip: Recuerda los enunciados de los teoremas, 

En especial el que compara la integral de Riemann y la integral de Lebesgue.

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1

Amo Mo!

Una función definida y acotada en un intervalo [a,b] es integrable Riemann si y solo si el conjunto de los puntos de discontinuidad tiene medida 0.

Aqui cada función fn solo tiene un punto de discontinuidad, el punto x=1/n luego es integrable Riemann y la integral es:

$$\begin{align}&\int_0^1f_n(x)dx = \int_0^{\frac 1n}0dx+\int_{\frac 1n}^1 \frac {dx}{\sqrt x}=\\ &\\ &0 + \sqrt x|_{1/n}^1= 1-\sqrt{\frac 1n}\end{align}$$

Y cuando n tiende a infinito la integral tiende a 1

Y hay un teorema que dice que si existe la integral de Riemann entonces la función es integrable Lebesgue y los valores coinciden.

Y eso es todo.

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