Como calcular la integral impropia

Cesar Bustamante!

¿Es esta la integral?

$$\begin{align}&\int_a^{\infty}arctg\left( \frac{\frac x4}{16+x^2}\right)dx\end{align}$$

Es que hay integrales que un mínima variación puede hacerlas imposibles.

$$\begin{align}&\int (arctg x/4) / (16+x^2), \end{align}$$

evaluada desde a hasta infinito demostrar que es igual a (pi^2 -4)/ 32, con un a mayor que cero

Siento volver a preguntarte, pero con algunas integrales no te la puedes jugar a la ligera.

¿Es esta?

$$\begin{align}&\int_a^{\infty} \frac{arctg \left(\frac x4\right)}{ 16+x^2} dx\end{align}$$

esa es la integral 

No me lo has confirmado pero voy a hacer la que he supuesto porque ya ha pasado mucho tiempo.

$$\begin{align}&\int_a^{\infty} \frac{arctg \left(\frac x4\right)}{ 16+x^2} dx=\\ &\\ &\int_a^{\infty} \frac{arctg \left(\frac x4\right)}{16\left( 1+\frac{x^2}{16}\right)} dx=\\ &\\ &\\ &\frac 1{16} \int_a^{\infty} \frac{arctg \left(\frac x4\right)}{ 1+\left(\frac{x}{4}\right)^2} dx=\\ &\\ &t=arctg \frac x4\\ &\\ &dt = \frac 14·\frac{dx}{1+\left(\frac{x}{4}\right)^2}\\ &\\ &x=a \implies t= arctg \frac a4\\ &x=\infty \implies t=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &\\ &=\frac 14 \int_{arctg \frac a4}^{\frac{\pi}{2}} tdt=\left.  \frac 14· \frac {t^2}{2}\right|_{arctg \frac a4}^{\frac{\pi}{2}}=\\ &\\ &\frac{\pi^2}{32}-\frac 18\left(  arctg \frac a4 \right)^2\end{align}$$

Y eso es todo.