Conciliar vida laboral y familiar

He solicitado en mi empresa un reducción de jornada de 1/8 de la jornada en turno fijo mañana para poder hacerme cargo de mi bebe, ya que en mi empresa se trabaja a turnos rotativos de mañana y tarde. La empresa, aunque nunca me lo ha negado rotundamente, lleva varios meses poniéndome peros, pidiéndome documentación (de la guardería, de mi pareja...), y yo les he dado todo lo que me han pedido. Solo quedan unos días para mi incorporación y la ultima respuesta de la empresa ha sido la misma, dispuestos a negociar pero no lo que yo pido, incluso me han ofrecido el despido voluntario, o cambiar mi contrato... Yo me he negado a todo eso.
Como no he obtenido respuesta, he decidido demandar, estoy un poco asustada pero es que no puedo dejar de trabajar y necesito esa reducción para hacerme cargo de mi bebe.
Mis preguntas son, como tengo que incorporarme antes de que llegue el juicio, ¿con qué horarios tengo que trabajar hasta entonces? ¿Lo establece la empresa? ¿Qué posibilidades tengo de ganar esa demanda? La verdad es que lo estoy pasando un poco mal. No se que hacer, psicológicamente me están presionando bastante.
Un saludo, gracias por todo.