Alta en nueva empresa sin estar de baja en anterior

Sobre todo, gracias de antemano.
Ahora mismo estoy trabajando en una empresa a tiempo completo con un contrato Eventual por circunstancias de la producción (402), la fecha de finalización del mismo es en Octubre, me ha surgido la oportunidad de entrar a trabajar, empezando a primeros de la próxima semana, en otra empresa con mejores condiciones en todos los sentidos.
Le he pedido a mi actual empresa que me despidiese, no he entrado a explicarles el motivo, además simplemente lo hago por cubrirme las espaldas ante un posible despido en los tres primeros meses de trabajo en la nueva empresa y tener derecho a la prestación por desempleo.
Me han puesto pegas, pero al final han accedido, pero me dicen que no me lo pueden tramitar hasta la segunda semana de septiembre.
¿Qué puede pasar si empiezo a trabajar en la nueva empresa la próxima semana, ellos me dan de alta y todavía no me han dado de baja en la anterior empresa?