Derivada de la función

Voy a hacer la integral mientras no sepa lo que es el triángulo asociado.

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2+4}}=\\ &\\ &x=2tgt\\ &dx=2sect\,dt\\ &t=arctg \frac x2\\ &\\ &\int \frac{2tgt\,dt}{8tg^3t \sqrt{4tg^2t+4}}=\\ &\\ &\\ &\int \frac{dt}{8tg^2t \sqrt{tg^2t+1}}=\\ &\\ &\\ &\frac 18\int \frac{dt}{tg^2t·sect}=\\ &\\ &\\ &\frac 18\int \frac{dt}{\frac {sen^2t}{\cos^2 t}·\frac{1}{cost}}=\\ &\\ &\\ &\frac 18 \int \frac{\cos^3t}{sen^2t}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 18 \int \frac{(1-sen^2t)cost}{sen^2t}dt=\\ &\\ &z=sent\quad\quad dz=cost\,dt\\ &\\ &=\frac 18 \int \frac{1-z^2}{z^2}dz =\\ &\\ &\frac 18\left(-\frac 1z -z\right)+C =\\ &\\ &\\ &-\frac 18\left(sent + \frac{1}{sent} \right)+C=\\ &\\ &\\ &-\frac 18\left[sen\left(arctg \frac x2\right) + \frac{1}{sen\left(arctg \frac x2  \right)} \right]+C=\\ &\\ &si \;tgt=\frac x2\implies \frac{sent}{cost}=\frac x2\implies\\ &\\ &\frac{sent}{\sqrt{1-sen^2t}}=\frac x2\implies \\ &\\ &\frac{sen^2t}{1-sen^2t}=\frac{x^2}{4}\implies\\ &\\ &sen^2t = \frac {x^2}{4} -\frac{x^2}{4}sen^2t\implies\\ &\\ &\left(1+\frac{x^2}{4}\right)sen^2t = \frac{x^2}{4}\implies\\ &\\ &sent=\sqrt{\frac{\frac{x^2}{4}}{\frac{4+x^2}{4}}}=\sqrt{\frac{x^2}{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}\\ &\\ &\text {Luego la integral queda}\\ &\\ &-\frac 18\left(\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}+\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}  \right)+C =\\ &\\ &-\frac 18 \left(\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}+\frac{\sqrt{4+x^2}}{x} \right)+C=\\ &\\ &\\ &-\frac 18\left(\frac{x^2+4+x^2}{x \sqrt{4+x^2}}  \right)+C=\\ &\\ &\\ &-\frac {x^2+2}{4x \sqrt{4+x^2}}+C\\ &\end{align}$$

Sé que está mal hecha, pero hasta que no se manda no se puede ver como queda lo que has hecho con el editor de ecuaciones. Así que la mando y así podré verla y corregirla.

Por cierto. ¿No sería tal vez un cambio hiperbólico en vez de trigonométrico el que hace falta?

¡Madre mía!

El fallo es nada más empezar, cuando digo que la derivada de tgt es sect cuando es sec^2(t). Pues paciencia y la hago de nuevo.

Mejor que vuelvas a mandar la pregunta. Ya se ha usado demasiado el editor de ecuaciones y el ordenador no puede con más, se pone perezoso que es imposible trabajar.

Oye te pido disculpas , no es asi, me equivoque lo correcto es asi:

integral de x^3 sqrt(x^2+4)dx fue un pequeño error

Saludos