Ejercicios de integración por partes

Serias tan amable de ayudarme a resolver los siguientes dos ejercicio de integrales utilizando para ello el método de integración por partes, explicame paso a paso por favor que me cuesta entender el proceso de integrar por partes:

1. \int sen\sqrt {x}

2. \int \arctan \sqrt {x}

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5.848.200 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Ya vi que mandaste la pregunta corregida. Te contestaré aquí el primer ejercicio y en la otra pregunta el otro. Que cada pregunta debe tener un solo ejercicio y más siendo integrales raras como estas.

Sabrás la fórmula:

$udv = uv - $vdu

Un día vi una vieja vestida de uniforme u otras regla mnemotécnicas que hay:

Sea I1 = $sen[sqrt(x)]

u = sen[sqrt(x)] => du = cos[sqrt(x)] dx/ [2sqrt(x)]

dv = dx =======> v = x

I1 = x·sen[sqrt(x)] - (1/2)$x·cos[sqrt(x)] dx / sqrt(x) =

x·sen[sqrt(x)] - (1/2)$sqrt(x)·cos[sqrt(x)] dx =

Integramos esta segunda integral que sale.

Sea I2 = $sqrt(x)·cos[sqrt(x)]dx

u = sqrt(x)·cos[sqrt(x)] ==>

du = cos[sqrt(x)]/[2sqrt(x)]-sqrt(x)·sen[sqrt(x)]/[2sqrt(x)]

du = {(1/2)cos[sqrt(x)]/sqrt(x) - (1/2)sen[sqrt(x)]}dx

dv = dx ==> v = x

I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)$x·cos[sqrt(x)]dx /sqrt(x) + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx

I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)$sqrt(x)·cos[sqrt(x)]dx + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx

fijémonos que en el resultado de la integral sale ella misma

I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/2)I2 + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx

(3/2)I2 = x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] + (1/2)$x·sen[sqrt(x)]dx

I1 = x·sen(sqrt(x) - (1/2)x·sqrt(x)cos[sqrt(x)] - (1/4)$x·sen[sqrt(x)]dx

BUENO, NO LLEGAMOS A NADA, seguimos teniendo una integral cada vez aumenta el exponente de x

EMPEZAMOS DE NUEVO, olvídate de lo hecho aunque no del método de integrar por partes.

$sin[sqrt(x)]dx

Hacemos el cambio de variable

t = sqrt(x)

dt = dx/[2sqrt(x)]

dx = 2sqrt(x)dt = 2tdt

Y la integral queda

2$t·sent·dt =

Y ahora sí que es el momento de integrar por partes

u = t =======> du = dt

dv = sentdt ==> -cost

Y la integral es

= -2tcost +2$costdt = -2tcost + 2sent + C =

Y deshaciendo el cambio

= -2sqrt(x)·cos[sqrt(x)] + 2sen[sqrt(x)] + C

Con lo fácil que era y el lío que me he metido, pero al final está hecha.

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